Integrais por partes

por **vmouc** » Qua Out 26, 2011 21:58

Boa noite,

Gostaria de uma ajuda para resolver a seguinte integral:

$\int_{}^{}xsen\frac{x}{2}dx$

Neste caso posso retirar o 1/2 para fora da integral?
$\frac{1}{2}\int_{}^{}xsenx dx$

e resolver por partes a partir daí?

por **Molina** » Qua Out 26, 2011 23:18

Boa noite.

Da forma que você escreveu não é possível fazer esta operação, pois o 2 está dividindo o x do seno.

Perceba que está errado eu fazer isso:

$sen \frac{x}{2} = \frac{1}{2} senx$

Ou seja, isso vale também dentro da integral.

:y:

por **vmouc** » Qui Out 27, 2011 12:53

Nesse caso se eu escolher senx/2 como u, como derivo sen x/2?

por **LuizAquino** » Qui Out 27, 2011 17:04

vmouc escreveu:Nesse caso se eu escolher senx/2 como u, como derivo sen x/2?

É mais conveniente escolher u=x

e $dv = \textrm{sen}\,\frac{x}{2}\,dx$ .

por **Igor Mirandola** » Sex Out 28, 2011 22:13

chame de u = x
e dv = sen(x/2) dx

dessa forma,
du = dx
v = -2cos(x/2)

Observe que a derivada de v é justamente sen(x/2).
Basta integrar por partes:
$\int_{}^{}u dv = uv - \int_{}^{}v du \Rightarrow \int_{}^{}xsen(\frac{x}{2})dx = -2xcos(\frac{x}{2}) - \int_{}^{}-2cos(\frac{x}{2})dx$

Esta integral é imedianta, já que integral do cos(ax) em relação a x, é sempre 1/a sen(ax)

Seu problema pode estar na regra da cadeia,
veja o sen(2x) como sendo uma função composta f(g(x)) onde f(x) = sen(x) e g(x) = 2x
A derivada de uma função composta eh dada pela RC,
f'(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)
para derivar sen(2x), primeira derivamos f'(g(x)), ou seja, a derivada do sen em relação a 2x, isto é cos(2x)
derivando agora g(x) = 2x, temos g'(x) = 2.
A derivada da composta, por tanto, f'(g(x)) = f'(g(x)) g'(x) => (sen(2x))' = 2 cos(2x)

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