[Limite]

por **Aliocha Karamazov** » Qua Out 26, 2011 22:17

Estou com dúvida no seguinte exercício. Ele possui 4 itens, e eu só consegui fazer o primeiro.

Seja f definida em $\mathds{R}$ e seja p um real dado. Suponha que $\lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=L$ . Calcule:

a) $\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}=L$

Esse foi o que eu fiz. Mas eu só consegui fazer porque eu já sabia que essas são duas formas de expressar a derivada. Eu fiz h=x-p e ficou

$\lim_{x\to p}\frac{f(p+x-p)-f(p)}{x-p}=\lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=L$

E quanto a esses aqui?

b) $\lim_{h\to 0}\frac{f(p+3h)-f(p)}{h}=L$

c) $\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p-h)}{h}=L$

Gostaria de saber como proceder em casos mais gerais. Obrigado.

por **LuizAquino** » Qua Out 26, 2011 23:22

b) $\lim_{h\to 0}\frac{f(p+3h)-f(p)}{h}=L$

A reposta correta para esse limite é 3L.

Faça a substituição x = p+3h.

$\lim_{h\to 0}\frac{f(p+3h)-f(p)}{h}= \lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{\frac{x-p}{3}} = 3\lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p} = 3L$

c) $\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p-h)}{h}=L$

A reposta correta para esse limite é 2L.

Comece subtraindo e somando o termo f(p) no numerador.

$\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p-h)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(p+h) - f(p-h) - f(p) + f(p)}{h}$ $= \lim_{h\to 0}\frac{f(p+h) - f(p)}{h} + \lim_{h\to 0}\frac{-f(p-h) + f(p)}{h}$

No primeiro limite, faça a substituição x = p+h. Já no segundo, faça x = p-h.

$\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p-h)}{h} = \lim_{x\to p}\frac{f(x) - f(p)}{x-p} + \lim_{x\to p}\frac{-f(x) + f(p)}{-(x-p)} = 2L$

por **Aliocha Karamazov** » Qui Out 27, 2011 00:38

Obrigado, Luiz. Mas não entendi algo. Na verdade, eu entendi, mas quero saber por que podemos fazer o que você fez aqui:

No primeiro limite, faça a substituição x = p+h. Já no segundo, faça x = p-h.

$\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p-h)}{h} = \lim_{x\to p}\frac{f(x) - f(p)}{x-p} + \lim_{x\to p}\frac{-f(x) + f(p)}{-(x-p)} = 2L$

Por que podemos chamar o x de duas coisas diferentes? Além disso, o que estamos fazendo, exatamente, ao chamar x de alguma coisa? Acredito que o nome para isso seja mudança de coordenada, certo?

por **LuizAquino** » Qui Out 27, 2011 07:02

Aliocha Karamazov escreveu:Por que podemos chamar o x de duas coisas diferentes?

E por que não poderia?

Tínhamos, por exemplo, a expressão p+h. Dados os valores dos reais p e h, o resultado de p+h é também um número real, o qual decidimos "chamar" de x. Apenas isso.

Aliocha Karamazov escreveu:Além disso, o que estamos fazendo, exatamente, ao chamar x de alguma coisa? Acredito que o nome para isso seja mudança de coordenada, certo?

Nesse caso, o nome mais usual seria "mudança de variável". Fazemos isso para transformar um limite desconhecido de modo a colocá-lo na forma de um limite conhecido.

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