Derivada - calcular a area da figura rotacionada

por **maykonnunes** » Qui Set 15, 2011 23:54

Encontre a área da superfície formada oela rotação, ao rdor do eixo x, do gráfico da função
$f(x)= a. cosh\frac{x}{a} ,/ x\epsilon[0,a]$

por **LuizAquino** » Sáb Set 17, 2011 20:27

maykonnunes escreveu:Encontre a área da superfície formada pela rotação, ao redor do eixo x, do gráfico da função
$f(x)= a\cosh\frac{x}{a}$ , $x\in [0,a]$

Dos conhecimentos de Cálculo, sabemos que a área da superfície obtida será dada por

$S = \int_{0}^{a} 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f^\prime(x)]^2}\,dx$

Por definição, o cosseno hiperbólico (representado por $\cosh$ ) é definido como:

$\cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$

Sendo assim, temos que:
$g(u) = \cosh u \Rightarrow g^\prime (u) = \frac{e^u - e^{-u}}{2}$

Note que podemos escrever:

$\sqrt{1 + [g^\prime(u)]^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{e^u - e^{-u}}{2}\right)^2}$ $= \sqrt{1 + \frac{(e^u)^2 - 2(e^u)(e^{-u}) + (e^{-u})^2}{4}} = \sqrt{\frac{(e^u)^2 + 2 + (e^{-u})^2}{4}}$ $= \sqrt{\frac{(e^u + e^{-u})^2}{4}} = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$

Considerando essas informações, tente terminar o exercício.

Observação
Por definição, o seno hiperbólico (representado por $\textrm{senh}$ ) é definido como:

$\textrm{senh}\, u = \frac{e^u - e^{-u}}{2}$

Desse maneira, temos que:

(i) $[\cosh u]^\prime = \textrm{senh}\, u$

(ii) $[\textrm{senh}\, u]^\prime = \cosh u$

por **Faby** » Qua Set 21, 2011 17:56

...estou tentando continuar a resolução, fiz mudançã de variável, mas não consigo encontrar a v onde dv é (e^x/a + e^-x/a)/2 dx

por **Faby** » Sex Set 23, 2011 14:11

...cheguei ao seguinte resultado:

será que acertei??

por **LuizAquino** » Sáb Set 24, 2011 00:39

Considerando as informações que postei anteriormente e usando a Regra da Cadeia, note que:

$f(x) = a\cosh \frac{x}{a} \Rightarrow f^\prime (x) = a\left(\,\textrm{senh}\,\frac{x}{a}\right)\left(\frac{x}{a}\right)^\prime = \,\textrm{senh}\,\frac{x}{a}$

Além disso, também temos que:

$\sqrt{1 + \left(\,\textrm{senh}\,\frac{x}{a}\right)^2} = \cosh \frac{x}{a}$

Portanto, precisamos apenas calcular a integral:

$S = \int_{0}^{a} 2\pi a\cosh^2 \frac{x}{a}\,dx$

Utilizando as definições apresentadas anteriormente, é fácil verificar que é válida a identidade $\cosh^2 u = \frac{1}{2}(1 + \cosh 2u)$ .

Podemos então reescrever o integrando como:

$S = \int_{0}^{a} \pi a \left(1 + \cosh \frac{2x}{a}\right)\,dx = \int_{0}^{a} \pi a \,dx + \int_{0}^{a} \pi a \cosh \frac{2x}{a}\,dx$

Agora basta resolver essas duas integrais. Vale lembrar que na segunda delas podemos aplicar a substituição $u = \frac{2x}{a}$ e $du = \frac{2}{a}\,dx$ .

No final, o resultado será:

$S = \pi a^2 \left(1 + \frac{1}{2}\,\textrm{senh}\, 2\right)$

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