[Derivada]

por **thiago toledo** » Qui Set 22, 2011 16:04

Como resolvo este exercicio abaixo?

Achar z = f (x, y), se:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x}+y{e}^{xy}+2x$

$f(1,y)=ln(y)+{e}^{y}+2y$

por **LuizAquino** » Qui Set 22, 2011 18:40

thiago toledo escreveu:Achar z = f (x, y), se:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x}+y{e}^{xy}+2x$

$f(1,\,y) = \ln(y)+{e}^{y}+2y$

Primeiro, calcule a integral em relação a x em ambos os membros dessa equação. Nesse caso, você vai considerar y como se fosse uma constante.

$\int \frac{\partial z}{\partial x} dx=\int \frac{1}{x}+y{e}^{xy}+2x\,dx \Rightarrow z = \ln |x| + e^{xy} + x^2 + c(y)$ $\Rightarrow f(x,\,y) = \ln |x| + e^{xy} + x^2 + c(y)$

Note que após efetuar essa integração aparece uma "constante" c, que na verdade é uma função de y (isto é, temos c(y)).

Agora, use o fato de que $f(1,\,y) = \ln(y)+{e}^{y}+2y$ para determinar c(y).

Após ter determinado c(y), basta substituir em $f(x,\,y) = \ln |x| + e^{xy} + x^2 + c(y)$ e você terá encontrado a função f(x, y).

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