assintota

por **DyegoBrum** » Seg Set 19, 2011 13:30

achar as assintotas verticais e horizontais e esboçar? o grafico....

f{x}=-3x/raiz de x^2-3

nao consigo achar a resposta nem um meio de chegar nela,,eu acho assistota vertical raiz de 3 mas a resposta e 3.

vlw pessoal

por **LuizAquino** » Seg Set 19, 2011 17:21

Você tem a função $f(x) = -\frac{3x}{\sqrt{x^2 - 3}}$ .

Dizemos que a reta x = c é uma assíntota vertical do gráfico da função f se qualquer um dos três limites abaixo ocorre:
(i) $\lim_{x\to c^-} f(x) = \infty$

(ii) $\lim_{x\to c^+} f(x) = \infty$

(iii) $\lim_{x\to c} f(x) = \infty$

Obs 1.: Obviamente, quando (iii) ocorre temos que (i) e (ii) ocorrem.
Obs 2.: O símbolo $\infty$ aqui nesse caso pode representar tanto $-\infty$ quanto $+\infty$ .

Voltando a função, note que:
$\lim_{x\to \sqrt{3}} -\frac{3x}{\sqrt{x^2 - 3}} = \lim_{x\to \sqrt{3}} -3x \lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3}} = -3\sqrt{3}\cdot (+\infty) = -\infty$

$\lim_{x\to -\sqrt{3}} -\frac{3x}{\sqrt{x^2 - 3}} = \lim_{x\to -\sqrt{3}} -3x \lim_{x \to -\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3}} = 3\sqrt{3}\cdot (+\infty) = +\infty$

Portanto, as retas $x = \sqrt{3}$ e $x = -\sqrt{3}$ são assíntotas verticais do gráfico de f.

Em relação à assíntota horizontal, dizemos que a reta y = c é uma assíntota horizontal do gráfico de f se o limite abaixo ocorre:

(i) $\lim_{x \to \infty} f(x) = c$

Obs 3.: Novamente, o símbolo $\infty$ aqui nesse caso pode representar tanto $-\infty$ quanto $+\infty$ .

Voltando a função, note que:
$\lim_{x\to + \infty} -\frac{3x}{\sqrt{x^2 - 3}} = \lim_{x\to + \infty} -\frac{3}{\frac{\sqrt{x^2 - 3}}{x}} = \lim_{x\to + \infty} -\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{3}{x^2}}} = -3$

Por outro lado, temos que calcular:
$\lim_{x\to - \infty} -\frac{3x}{\sqrt{x^2 - 3}}$

Como x é um número negativo (já que x está tendendo para $-\infty$ ), podemos reescrever esse limite como:
$\lim_{x\to - \infty} -\frac{3x}{\sqrt{x^2 - 3}} = \lim_{x\to + \infty} -\frac{3(-x)}{\sqrt{(-x)^2 - 3}} = \lim_{x\to + \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 3}}$

Resolvendo esse último limite como fizemos anteriormente, podemos dizer no final que:
$\lim_{x\to - \infty} -\frac{3x}{\sqrt{x^2 - 3}} = 3$

Portanto, as retas y = 3

e

são assíntotas horizontais do gráfico de f.

Agora tente terminar o exercício.

Observação
Procure usar o LaTeX para escrever as notações matemáticas. Para saber como proceder, leia o tópico:
DICA: Escrevendo Fórmulas com LaTeX via BBCode
viewtopic.php?f=9&t=74

Se precisar, então use também o Editor de Fórmulas.

por **DyegoBrum** » Qua Set 21, 2011 15:09

vlw aquino salvou o dia,obrigado pelo obs

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