[limite] reta tangente

por **beel** » Dom Set 11, 2011 17:46

O valor de "a" tal que a reta tangente da fução f(x) = x + (1/x) no ponto (a, f(a) ) tem inclinação igual a 1.

Pra resolver, eu usei o limite da razão incremental e ficou:

u ( coeficiente angular) = $\lim_{h\rightarrow0} \frac{f( x0 + h) - f (x0)}{h}$ então, esse limite = 1.

Sendo f(x0) = f(a) = $\frac{(a^2 + 1)}{a}$
Assim,
$\lim_{h\rightarrow0} f (a + h ) - \frac{(a^2 + 1)}{a} = \lim_{h\rightarrow0} [(a + h ) + \frac{1}{(a+h)}] - (\frac{a^2 - 1}{a})$

Teria que tirar o mmc ( que seria a(a + h )) mas eu travei..meu resultado deu 2 mas esta errado, nao ha nenhuma alternativa correspondente

por **MarceloFantini** » Dom Set 11, 2011 19:54

Note que $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(a+h) + \frac{1}{a+h} - (a + \frac{1}{a})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h + \frac{(a -(a+h)}{a(a+h)}}{h} =$

$= \lim_{h \to 0} \frac{h - \frac{h}{a(a+h)}}{h}= \lim_{h \to 0} 1 - \frac{1}{a(a+h)} = 1 - \frac{1}{a^2} = 1$

Isto está estranho...

por **beel** » Dom Set 18, 2011 19:53

Por quê estranho?

por **MarceloFantini** » Dom Set 18, 2011 19:58

Pois para que isto aconteça devemos ter $\frac{1}{a^2} = 0$ , e isto não acontece com números reais.

por **beel** » Dom Set 18, 2011 20:14

Meu resultado deu zero e depois um, mas minha resolução foi diferente da sua, ficou no final
$\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{a + h}$

entao $\frac{1}{a} = 1$ , assim a = 1

por **MarceloFantini** » Dom Set 18, 2011 20:17

Seu resultado foi a=0

? Não pode ser pois $x \neq0$ , para que $\frac{1}{x}$ esteja definido.

por **beel** » Dom Set 18, 2011 20:24

Então, refiz minhas contas, mas fiquei muito em duvida em uma parte

$\lim_{h\rightarrow0}\frac{a(a +h + 1) - (a^2 + 1)(a + h)}{ha(a + h)} = \lim_{h\rightarrow0}\frac{h - a + h}{ha(a + h)} = lim... \frac{2h - a}{ha(a + h)} = \frac{1}{a + h}$

Assim, 1/a = 1, entao a = 1...deu isso