Estou perante uma dúvida de como provar o seguinte por indução:
Mostrar que
tem expansão puramente periódica com período 2n.Como
nunca é divisível nem por 2 nem por 5, temos 
então estamos perante uma dízima puramente periódica.Para demonstrar que o período é k=2n, penso que por indução se possa calcular:
Caso base:
Temos que P(1):
, ou seja, período 2.Temos que P(2):
, ou seja, período 4.Temos que P(3):
, ou seja, período 6.etc...
Passo de Indução:
Temos que:
A minha dúvida é passar daqui e provar que tem período sempre k=2n (pelos exemplos vemos que sim, mas falta a prova).
Se alguém me puder ajudar agradecia.
Abraço!
![\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}](/latexrender/pictures/981987c7bcdf9f8f498ca4605785636a.png "\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}")
![\sqrt[]{2}](/latexrender/pictures/f21662d1cabab6e8b273a4b6f1cd663a.png "\sqrt[]{2}")
e elevar ao quadrado os dois lados)