Pré Cálculo

por **Claudin** » Sáb Set 03, 2011 21:22

Resolva a seguinte desigualdade:

$\frac{|2x-3|}{x-3}\leq5$

No meu modo de resolver seria o seguinte:
Se x>0
$2x-3\leq5(x-3) \Rightarrow 2x-3\leq5x-15 \Rightarrow -3x\leq-12 \Rightarrow x\geq4$

Se x<0
$2x-3\leq-5(x-3) \Rightarrow 2x-3\leq-5x+15 \Rightarrow 7x\leq12 \Rightarrow x\geq\frac{12}{7}$

Sendo $x\neq3$

Se estiver errado alguem para detalhar a resposta correta por favor?

por **LuizAquino** » Dom Set 04, 2011 14:02

Claudin escreveu:Resolva a seguinte desigualdade:

$\frac{|2x-3|}{x-3}\leq 5$

O procedimento correto é dividir em dois casos. Para isso devemos levar em consideração o módulo.

(Caso 1)
Temos o seguinte sistema de inequações:
$\begin{cases} 2x-3 \geq 0 \\ \frac{2x-3}{x-3}\leq 5 \end{cases}$

(Caso 2)
Temos o seguinte sistema de inequações:
$\begin{cases} 2x-3 < 0 \\ \frac{-(2x-3)}{x-3}\leq 5 \end{cases}$

A solução final da inequação original será a união entre a solução do caso 1 com a solução do caso 2.

Vale destacar que você vai precisar saber como resolver inequações quociente. Se precisar, então faça uma revisão:
Inequação Produto e inequação quociente
http://educacao.uol.com.br/matematica/i ... iente.jhtm

Aproveito para lembrar que no canal do Nerckie há um conjunto de vídeo-aulas tratando desse assunto:
http://www.youtube.com/nerckie

por **Claudin** » Dom Set 04, 2011 14:07

Não consigo compreender essas varias formas de se resolver inequação modular
como por exemplo
|2x+1|>5

seria
se x>0
2x+1>5

se x<0
2x+1>-5

correto?
quando devo usar uma forma e quando devo usar outro modo de responder?

por **LuizAquino** » Dom Set 04, 2011 14:28

Claudin escreveu:Não consigo compreender essas varias formas de se resolver inequação modular

Não há tantas formas assim. Você é que ainda não compreendeu o procedimento.

A definição de módulo é:

$|a| = \begin{cases} a,\textrm{ se } a\geq 0 \\ -a,\textrm{ se } a< 0 \end{cases}$

Considere que você tem |2x + 1|. Aplicando a definição de módulo acima, temos que:

$|2x+1| = \begin{cases} 2x+1,\textrm{ se } 2x+1\geq 0 \\ -(2x+1),\textrm{ se } 2x+1< 0 \end{cases}$

Vejamos agora a inequação |2x + 1| > 5. Devido a definição de módulo, ela será dividida em dois casos.

(Caso 1)
Temos o seguinte sistema de inequações:
$\begin{cases} 2x+1 \geq 0 \\ 2x + 1 > 5 \end{cases}$

(Caso 2)
Temos o seguinte sistema de inequações:
$\begin{cases} 2x+1 < 0 \\ -(2x + 1) > 5 \end{cases}$

Da mesma forma que disse na mensagem anterior, a solução final da inequação original será a união entre a solução do caso 1 com a solução do caso 2.

Claudin escreveu:|2x+1|>5

seria
se x>0
2x+1>5

se x<0
2x+1>-5

correto?

Não. Veja o que disse acima.

Claudin escreveu:quando devo usar uma forma e quando devo usar outro modo de responder?

Como eu já ilustrei antes, o procedimento básico é: dividir em casos e analisar cada um deles.

por **Claudin** » Dom Set 04, 2011 15:06

Solução 1 eu encontrei
{x<-1/2 ou x>2}

Solução 2 eu encontrei
{-1/2<x<3}

Ou seja, a resposta seria a união das duas?

Sinceramente eu resolvi sempre desse meu jeito e n dava errado
agora fiquei confuso com esse modo que vc me mostrou.

pra mim seria
2x+1>5
-(2x+1)>5

ou

2x+1>5
2x+1>-5

por **LuizAquino** » Dom Set 04, 2011 16:33

Temos a inequação |2x + 1| > 5.

(Caso 1)
$\begin{cases} 2x+1 \geq 0 \\ 2x + 1 > 5 \end{cases} \Rightarrow S_1 = \left[-\frac{1}{2},\, +\infty\right) \cap (2,\, +\infty) = (2,\, +\infty)$

(Caso 2)
$\begin{cases} 2x+1 < 0 \\ -(2x + 1) > 5 \end{cases} \Rightarrow S_2 = \left(-\infty,\, -\frac{1}{2}\right) \cap (-\infty,\, -2) = (-\infty,\, -2)$

A solução final será $S = S_1\cup S_2 = (2,\, +\infty) \cup (-\infty,\, -2)$ .

Apenas para deixar a reposta mais organizada, vamos escrever $S = (-\infty,\, -2) \cup (2,\, +\infty)$ .

Claudin escreveu:Sinceramente eu resolvi sempre desse meu jeito e n dava errado
agora fiquei confuso com esse modo que vc me mostrou.

pra mim seria
2x+1>5
-(2x+1)>5

ou

2x+1>5
2x+1>-5

Primeiro, veja que -(2x + 1) > 5 é o mesmo que 2x + 1 < -5 e não 2x + 1> -5 como você escreveu.

Além disso, dada a inequação |2x + 1| > 5, quando você escreve 2x + 1 > 5 ou -(2x + 1) > 5 você já está usando implicitamente a definição de módulo. Veja que para o caso de uma inequação simples como essa, apenas esse procedimento também lhe fornece a solução. Mas, para uma inequação mais elaborada a aplicação da definição de módulo dessa forma implícita por ser mais trabalhosa.

por **Claudin** » Qua Set 07, 2011 18:10

LuizAquino escreveu:(Caso 2)
$\begin{cases} 2x+1 < 0 \\ -(2x + 1) > 5 \end{cases} \Rightarrow S_2 = \left(-\infty,\, -\frac{1}{2}\right) \cap (-\infty,\, -2) = (-\infty,\, -2)$

Neste caso não seria
-2x-1>5
-x>6
x<3

por **LuizAquino** » Qui Set 08, 2011 10:45

Claudin escreveu:Neste caso não seria
-2x-1>5
-x>6
x<3

Não seria isso.

Por outro lado, eu também cometi um equívoco na solução que postei anteriormente.

O correto é:

$\begin{cases} 2x+1 < 0 \\ -(2x + 1) > 5 \end{cases} \Rightarrow S_2 = \left(-\infty,\, -\frac{1}{2}\right) \cap (-\infty,\, -3) = (-\infty,\, -3)$

Isso porque temos:

$-(2x+1) > 5 \Rightarrow -2x - 1 > 5 \Rightarrow -2x > 6 \Rightarrow x < -3$

Portanto, a solução final correta será $S = S_1\cup S_2 = (-\infty,\, -3) \cup (2,\, +\infty)$ .