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[Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

[Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

Mensagempor phvicari » Sáb Set 03, 2011 04:40

Olá pessoal, tudo bem?

Esse é meu primeiro tópico, então desculpe qualquer erro...

Gostaria de pedir ajuda a vocês para resolver esse exercício:


f(a)=\int\limits_{0}^2~|x(x-a)|dx , Com a variando de: 0\leq a\leq 2


I) Encontrar f(a)
II) Encontrar o mínimo de f(a)

Obrigado desde já...
Editado pela última vez por phvicari em Sáb Set 03, 2011 16:30, em um total de 1 vez.
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Re: [Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Set 03, 2011 15:52

Quais foram suas tentativas?
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: [Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

Mensagempor phvicari » Sáb Set 03, 2011 21:06

Na verdade estou com duvida em como começar a resolver, porque pelo que eu entendi o a e o x variam entre 0 e 2, mas a função em si, depende do parâmetro a e não do x, por isso fiquei meio confuso em resolver esse exercício.

OBS: a resposta que preciso chegar é f(a)=\frac{1}{3}a^3-2a+\frac{8}{3}
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Re: [Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

Mensagempor LuizAquino » Dom Set 04, 2011 13:30

Veja que no integrando há uma função modular. Precisamos então analisar o módulo.

O exercício informa que 0\leq a\leq 2 .

Se a = 0, veja que não importa o valor de x teremos que |x(x - a)| = \left|x^2\right| = x^2 .

Desse modo, teremos que:

f(0) = \int_0^2 x^2 \,dx = \frac{8}{3}

Considere agora que 0 < a \leq 2 .

Aplicando a definição de módulo no integrando, temos que:

|x(x - a)| =
\begin{cases}
x(x - a),\textrm{ se } x(x - a) \geq 0 \\
-x(x - a),\textrm{ se } x(x - a) < 0
\end{cases}

Analisando o sinal de x(x - a), lembrando-se que estamos considerando 0 < a \leq 2, temos que

|x(x - a)| =
\begin{cases}
x(x - a),\textrm{ se } x \leq 0 \textrm{ ou } x \geq a\\
-x(x - a),\textrm{ se } 0 < x < a
\end{cases}

Isso significa que podemos reescrever a integral como:

f(a) = \int_0^2 |x(x-a)| \, dx = \int_0^a -x(x-a) \, dx + \int_a^2 x(x-a) \, dx

Agora tente terminar o exercício.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}