Mais um limite!

por **flima** » Sáb Ago 27, 2011 14:57

Olá para todos,

Segue o enunciado: f(x)=2x.cosx

, qual o valor de $\lim_{x\rightarrow\pi}\left(\frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi} \right)$

Resposta: -2

Eu tentei substituir 2cosx

por $\frac{sen2x}{senx}$ e desenvolver a equação, mas não rolou! Voiltando ao problema inicial, imaginei que a saída era encontrar um fator de evidência para o numerador que fosse igual ao denominador $x-\pi$ , assim excluo o zero quando aplicar o limite. O problema é que tentei muita coisa e não consegui. Alguém pode ajudar? *-)

por **LuizAquino** » Sáb Ago 27, 2011 17:34

Dica

Some e subtraia a expressão $2\pi\cos x$ no numerador:

$\lim_{x\to \pi} \frac{2x\cos x - 2\pi\cos \pi}{x-\pi} = \lim_{x\to \pi} \frac{2x\cos x - 2\pi\cos \pi + 2\pi\cos x - 2\pi\cos x}{x-\pi}$

Em seguida, separe em dois limites:

$\lim_{x\to \pi} \frac{2x\cos x - 2\pi\cos \pi}{x-\pi} = \lim_{x\to \pi} \frac{(2x-2\pi)\cos x}{x-\pi} + \lim_{x\to \pi} \frac{2\pi(\cos x - \cos \pi)}{x-\pi}$

Agora tente terminar de resolver o exercício.

por **Caradoc** » Sáb Ago 27, 2011 18:22

Como é uma indeterminação do tipo 0/0, você também pode tentar usar a regra de L'Hopital.

por **flima** » Sáb Ago 27, 2011 18:23

Ai que bom, agora foi!!!! Obrigada.

por **LuizAquino** » Sáb Ago 27, 2011 20:04

Caradoc escreveu:Como é uma indeterminação do tipo 0/0, você também pode tentar usar a regra de L'Hopital.

O uso indiscriminado da Regra de L'Hospital pode "enferrujar" a capacidade de manipulação algébrica do estudante.

Por isso, é bom deixar essa regra para os casos específicos nos quais uma manipulação algébrica "elementar" não resolve o limite.

por **VtinxD** » Dom Ago 28, 2011 03:17

Perceba que isto é uma derivada no ponto $\pi$ da função f(x),aplicando uma mudança de variavel $x-\pi=h$ para ficar na forma mais convencional ou até olhando como $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$ .E percebendo isto é só usar a regra do produto e avaliar no ponto $\pi$

por **LuizAquino** » Dom Ago 28, 2011 11:36

VtinxD escreveu:Perceba que isto é uma derivada no ponto $\pi$ da função f(x),aplicando uma mudança de variavel $x-\pi=h$ para ficar na forma mais convencional ou até olhando como $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$ .E percebendo isto é só usar a regra do produto e avaliar no ponto $\pi$

Bem, isso só pode ser feito se já tivesse sido estudado o conceito de derivadas e suas regras operatórias. Mas, o que fazer se não houvesse esse estudo? Perceba que nem essas regras e nem a Regra de L'Hospital poderiam ser aplicadas.

Veja que esse exercício poderia estar perfeitamente na seção de um livro que falasse apenas sobre limite (muito antes de falar sobre derivada, por exemplo).

Nesse contexto, é fundamental saber manipular algebricamente o limite para poder resolvê-lo, sem necessidade de usar de alguma forma o conceito de derivada.

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