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Limite- Continuidade em intervalos

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Mensagempor killerkill » Sáb Ago 13, 2011 02:25

Para saber se há continuidade em um valor a, os limites laterais devem ser iguais a função definida em a. Isto é:
\lim_{x\rightarrow a}= f(a)
Mais a minha dúvida é quanto à continuidade em intervalos [a,b].
Supomos que a<b, até onde eu sei, devo analisar da seguinte maneira:
\lim_{x\rightarrow a+}=f(a)

e

\lim_{x\rightarrow b-}=f(b)

Até esse ponto do raciocínio eu intendo, mais eu fico pensando no seguinte: oque me garante que entre a e b não existe um valor tal que f(x) não seja contínua?
Outra pequena dúvida, se o intervalo fosse ]a,b[ eu deveria analisar assim:

\lim_{x\rightarrow a^+}\neq f(a)

e

\lim_{x\rightarrow b^-}\neq f(b)

Correto?
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Re: Limite- Continuidade em intervalos

Mensagempor LuizAquino » Sáb Ago 13, 2011 22:04

killerkill escreveu:o que me garante que entre a e b não existe um valor tal que f(x) não seja contínua?


O que vai lhe garantir é o conhecimento da função em questão.

Por exemplo, você sabe que uma reta é continua em todo o seu domínio.

Por exemplo, a função f(x) = x + 1 é contínua em todo o \mathbb{R} .

Imagine agora que você vai tomar outra função que é um "pedaço" de f. Por exemplo, g : [-1,\,1] \to \mathbb{R} tal que g(x) = x + 1 . Naturalmente g será contínua em [-1, 1].

Vejamos agora outro exemplo. Considere a função f(x) = \frac{1}{x} , que como você sabe é contínua em todo o \mathbb{R}^* .

Se você tomar o "pedaço" de f dado por g : [1,\,2] \to \mathbb{R} tal que g(x) = \frac{1}{x}, então g é contínua em [1, 2].

Por outro lado, se você tomar o "pedaço" dado por h : [-1,\,1] \to \mathbb{R} tal que h(x) = \frac{1}{x}, então h não é contínua em todo o [-1, 1].

killerkill escreveu:Outra pequena dúvida, se o intervalo fosse ]a,b[ eu deveria analisar assim:

\lim_{x\rightarrow a^+}\neq f(a)

e

\lim_{x\rightarrow b^-}\neq f(b)

Correto?

Está incorreto. O que você deve verificar é se para todo c\in]a,\,b[ é valido que \lim_{x\to c}f(x) = f(c) .

Voltando aos exemplos anteriores, note que:
(i) g : ]-1,\,1[ \to \mathbb{R} definida por g(x) = x + 1 é contínua em ]-1, 1[;

(ii) h : ]-1,\,1[ \to \mathbb{R} definida por h(x) = \frac{1}{x} não é contínua em todo o ]-1, 1[.
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Re: Limite- Continuidade em intervalos

Mensagempor killerkill » Dom Ago 14, 2011 00:18

Entendi , muito obrigado Luiz! =D
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Re: Limite- Continuidade em intervalos

Mensagempor killerkill » Dom Ago 14, 2011 00:31

Luiz, aproveitando esse tópico, seria correto eu responder tal exercício dessa forma da seguinte forma?
Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado:
f(x)=\frac{2x+3}{x-2}

\left(2,\infty \right)

A função f(x) é contínua no intervalo \left(2,\infty \right) se for contínua em todos os números do seu intervalo. O único valor em f(x) em que f nao é contínua é em x=2, pois x-2\neq0.
Logo, no intervalo aberto dado, f(x) é contínua.

Essa seria minha resposta. mais sinto um pouco teórica demais, poderia me ajudar a me expressar de outra maneira?
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Re: Limite- Continuidade em intervalos

Mensagempor LuizAquino » Dom Ago 14, 2011 12:37

killerkill escreveu:Essa seria minha resposta. mais sinto um pouco teórica demais, poderia me ajudar a me expressar de outra maneira?

Em primeiro lugar, não há problema em ser teórico.

Em segundo lugar, veja o que o exercício pede (e você não fez):

"Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado (...)"

Isso significa que você precisa tomar c\in (2,\,+\infty) e usando as propriedades de limites mostrar que \lim_{x\to c} f(x) = f(c) .
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Re: Limite- Continuidade em intervalos

Mensagempor killerkill » Qua Ago 17, 2011 21:59

Então, eu só consegui pensar em fazer essa questão dessa maneira:
Sendo c \in (2,\infty) então \lim_{x\rightarrow c} f(x)=f(c). Logo:

\lim_{x\rightarrow c}f(x)= f(c)


\lim_{x\rightarrow c} \frac{2x+3}{x-2}=\frac{\lim_{x\rightarrow c }2x+\lim_{x\rightarrow c}3}{\lim_{x\rightarrow c}x-\lim_{x\rightarrow c}2}= \frac{2c+3}{c-2}= f(c)
Portanto, a função f(x) é contínua no intervalo dado.

Estaria correto essa resposta?
Apliquei as propriedade dos limites. Mais me veio uma outra dúvida, no caso de uma função g(x) não ser contínua num dado intervalo. você tem algum exemplo ?
Grato.=D
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Re: Limite- Continuidade em intervalos

Mensagempor LuizAquino » Qua Ago 17, 2011 22:57

killerkill escreveu:\lim_{x\rightarrow c} \frac{2x+3}{x-2}=\frac{\lim_{x\rightarrow c }2x+\lim_{x\rightarrow c}3}{\lim_{x\rightarrow c}x-\lim_{x\rightarrow c}2}= \frac{2c+3}{c-2}= f(c)
Portanto, a função f(x) é contínua no intervalo dado.

Estaria correto essa resposta?

Sim, já que c\neq 2 .


killerkill escreveu:(...) no caso de uma função g(x) não ser contínua num dado intervalo. você tem algum exemplo ?
Grato.=D


Por exemplo, tome essa mesma função f(x)=\frac{2x + 3}{x - 2} e o intervalo [2,\, +\infty) .
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Re: Limite- Continuidade em intervalos

Mensagempor killerkill » Qua Ago 17, 2011 23:17

De fato! Obrigado mais uma vez Luiz!
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.