Função Composta

por **lihsecundo** » Ter Ago 09, 2011 21:12

Sejam f e g duas funções tais que f(x) = ?x e f(g(x-1)) = 2x+1. Assinale a alternativa que representa uma afirmação correta referente à função g mencionada.

a) g é uma função quadrática, com duas raízes reais distintas, sendo uma delas igual a -3.
b) A imagem de g é o intervalo [9, ?).
c) g é bijetora, portanto possui inversa.
d) O domínio de g é o conjunto {xeIR/x?0}
e) g é uma função linear com coeficiente angular negativo.

A resposta correta é a letra C, mas gostaria de saber porque as outras alternativas estão erradas.
Obrigada!

por **LuizAquino** » Ter Ago 09, 2011 22:15

Perceba que a função f é tal que $f(x) \geq 0$ para todos os pontos x de seu domínio.

Sendo assim, deve ocorrer $2x + 1 \geq 0$ . Isso significa que $x \geq -\frac{1}{2}$ .

Subtraindo 1 em ambos os lados da última inequação, temos que $x - 1\geq -\frac{3}{2}$ . Disso tiramos que o domínio da função g deve ser $\left[-\frac{3}{2},\, +\infty\right)$ .

Para poder realizar a composição f(g(x-1)), note que a imagem de g deve estar contida ou ser igual ao domínio de f. Como o domínio de f é $\mathbb{R}_+$ , temos que $\textrm{Im}(g)\subseteq \mathbb{R}_+$ .

Fazendo a composição das funções, temos que:

$f(g(x-1)) = 2x+1 \Rightarrow \sqrt{g(x-1)} = 2x + 1 \Rightarrow g(x-1) = (2x+1)^2$ .

Fazendo a substituição u = x - 1 (e portanto u + 1 = x), obtemos que:

$g(u) = [2(u + 1)+1]^2 \Rightarrow g(u) = (2u + 3)^2$ .

Como a "letra" que representa a variável independente não importa, essa função é a mesma que g(x) = (2x + 3)^2

.

Já que o domínio de g é $\left[-\frac{3}{2},\, +\infty\right)$ , perceba que a sua imagem será $\left[0,\, +\infty\right)$ .

Note que nesse caso a imagem de g acabou sendo igual ao domínio de f.

Agora, analise as alternativas.

Observação

Vale destacar que $\left[\sqrt{g(x-1)}\right]^2 = g(x-1)$ , pois sabíamos que g(x-1) é um número positivo.

Caso não soubéssemos dessa informação, o correto seria escrever $\left[\sqrt{g(x-1)}\right]^2 = |g(x-1)|$ .

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