Limite

por **Claudin** » Qui Jul 28, 2011 17:08

Livro Guidorizzi Vol 1

Página 85

Exercício 3

Dada a função $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$ , verifique que $\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)$ . Pergunta-se: f é contínua em 1? Por Quê?

De acordo com meus cálculos encontrei $\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)= -1$

Ou seja, se os limites laterais pela esquerda e pela direita são iguais, determinei, que a função é contínua.

O que no gabarito esta dizendo o contrário.

por **LuizAquino** » Qui Jul 28, 2011 18:37

Claudin escreveu:De acordo com meus cálculos encontrei $\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)= -1$

Ou seja, se os limites laterais pela esquerda e pela direita são iguais, determinei, que a função é contínua.

Apenas ter limites laterais iguais quando x se aproxima de 1 não implica que a função seja contínua em 1. Basta você analisar a definição de função contínua para entender isso.

por **Claudin** » Qui Jul 28, 2011 19:49

LuizAquino escreveu:Apenas ter limites laterais iguais quando x se aproxima de 1 não implica que a função seja contínua em 1. Basta você analisar a definição de função contínua para entender isso.

Então para ser uma função contínua teria que ser assim:
$\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)= 1$

Correto?

por **LuizAquino** » Qui Jul 28, 2011 20:27

Claudin escreveu:Então para ser uma função contínua teria que ser assim:
$\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)= 1$
Correto?

Errado.

Conforme dito no outro tópico (Limite), a função f é contínua em 1 se acontecer que:

$\lim_{x\to 1} f(x) = f(1)$

por **Claudin** » Qui Jul 28, 2011 21:06

por **Claudin** » Sex Jul 29, 2011 02:04

Analisando novamente o exercício Luiz Aquino, observei que na função:

$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$

Aplicando o f(1) normalmente resultaria em uma indeterminação.
$f(1)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}= \frac{0}{0}$

Mas o modo correto seria:

$f(1)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}\Rightarrow \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)}= \frac{(x-2)}{1}= -1$

O que iria resultar em:

$\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=f(1)$

Substituindo valores:

$\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=-1$

Após calcular os limites laterais pela esquerda e pela direita obtive:

$\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1$ e $\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=-1$

Ou seja, seria uma expressão correta, utilizando f(1)=-1.

Poderia, explicar onde estou errando?

por **Claudin** » Sex Jul 29, 2011 02:08

Com base nos cálculos acima posso afirmar que o limite existe.

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}= -1$

E automaticamente, com base nos cálculos acima, também pensei que a função seria contínua. Detalhe onde eu errei e explique-me a resposta correta. Obrigado.

por **LuizAquino** » Sex Jul 29, 2011 09:29

Claudin escreveu:(...)

Mas o modo correto seria:

$f(1)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}\Rightarrow \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)}= \frac{(x-2)}{1}= -1$

(...)

Poderia, explicar onde estou errando?

Exatamente nesse passo está o erro!

Só é possível simplificar os termos (x - 1) quando x for diferente de 1! Acontece que você simplificou esses termos e em seguida colocou x como 1.

Perceba que em outras palavras você está cometendo o seguinte erro: $\frac{0\cdot (-1)}{0} = -1$ .

por **Claudin** » Sex Jul 29, 2011 11:58

Mas se não for desse modo. Aplicando f(1) resultaria em uma indeterminação $\frac{0}{0}$

Isso que eu não compreendi, por isso fiz desse modo.

por **LuizAquino** » Sex Jul 29, 2011 12:16

Claudin escreveu:Mas se não for desse modo. Aplicando f(1) resultaria em uma indeterminação $\frac{0}{0}$

Você não pode calcular f(1), pois o domínio da função f é $\mathbb{R}-\{1\}$ .

Ou seja, x = 1 não faz parte do domínio de f. Desse modo, f(1) não existe.

Essa função tem esse domínio devido a presença do termo (x - 1) no denominador.

por **Fabio Cabral** » Sex Jul 29, 2011 12:20

Claudinho,

Analisando o limite da função em x=1

$\lim_{x\rightarrow{1}^{+}}=\lim_{x\rightarrow{1}^{-}}$

Porém, não existe f(1)

Sabendo disso, já podemos afirmar que há uma descontinuidade!

por **Claudin** » Sex Jul 29, 2011 12:23

Compreendi Luiz e Fábio

Mas o fato de possuir limites laterais iguais não interfere na descontinuidade, certo?

Outra pergunta seria, então em questões de continuidade eu devo analisar primeiro se existe o ponto, certo?
Para depois analisar os limites laterais pela esquerda e pela direita?

por **Fabio Cabral** » Sex Jul 29, 2011 12:25

Lembrando que para a função ser contínua, temos que ter as seguintes situações:

1) $\exists$ $f({x}_{0})$

2) $\exists$ $\lim_{x\rightarrow{x}_{0}}f(x)$

3) $\lim_{x\rightarrow{x}_{0}}f(x)=f({x}_{0})$