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Colégio Naval

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Mensagempor Joan » Seg Jul 25, 2011 16:38

Sejam p e q números reais positicos tais que \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{\sqrt[]{2010}}. Qual o valor mínimo do produto pq?

oq consegui fazer foi somente o inicio e depois nao sei oq faço:

\frac{p+q}{pq} = \frac{1}{\sqrt[]{2010}} \rightarrow p+q = \frac{pq}{\sqrt[]{2010}}

Infelismente nao sei oq fazer mais...

desde já grato.
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Re: Colégio Naval

Mensagempor Guill » Seg Jul 25, 2011 17:17

\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{\sqrt[]{2010}}

\frac{p+q}{pq}=\frac{1}{\sqrt[]{2010}}


Racionalizando:

\frac{p+q}{pq}=\frac{\sqrt[]{2010}}{2010}

pq=2010
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Guill
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Re: Colégio Naval

Mensagempor Joan » Seg Jul 25, 2011 18:04

Guill escreveu:\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{\sqrt[]{2010}}

\frac{p+q}{pq}=\frac{1}{\sqrt[]{2010}}


Racionalizando:

\frac{p+q}{pq}=\frac{\sqrt[]{2010}}{2010}

pq=2010


Amigo agradeço a boa vontade, mais no gabarito da prova tá a resposta como 8040. oq pode ta errado?
Joan
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Re: Colégio Naval

Mensagempor MarceloFantini » Ter Jul 26, 2011 11:04

Continuando o que o colega Guill fez, temos:

p+q = \frac{pq}{\sqrt{2010}}

Mas sabemos que \frac{p+q}{2} \geq \sqrt{pq}. Portanto, \frac{pq}{\sqrt{2010}} \geq 2 \sqrt{pq} e segue que \sqrt{pq} \geq 2 \sqrt{2010}. Finalmente, pq \geq 4 \cdot 2010 = 8040, e a resposta é que o valor mínimo de pq é 8040.
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Re: Colégio Naval

Mensagempor LuizAquino » Ter Jul 26, 2011 11:25

Guill escreveu:Racionalizando:

\frac{p+q}{pq}=\frac{\sqrt[]{2010}}{2010}

pq=2010


Joan escreveu:Amigo agradeço a boa vontade, mais no gabarito da prova tá a resposta como 8040. oq pode ta errado?


O erro na solução de Guill está no fato de que se \frac{a}{b} = \frac{c}{d} , então não necessariamente a = c e b = d.

Por exemplo, se a = 5 e b = 10, temos que \frac{a}{b} = \frac{1}{2} . Entretanto, note que a\neq 1 e b\neq 2 .
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Re: Colégio Naval

Mensagempor Joan » Ter Jul 26, 2011 14:55

Nao comprendi, mais obrigado a todos pela ajuda.
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Re: Colégio Naval

Mensagempor Fabricio dalla » Ter Jul 26, 2011 16:47

Mas sabemos que \frac{p+q}{2}\geq\sqrt[2]{pq}


eu n entendi o que Marcelo Fantine fez.ele pré supôs fazendo aquela comparaçao de que a media aritimetica e maior que media geometrica pra conseguir resolver a questão ?
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Re: Colégio Naval

Mensagempor MarceloFantini » Ter Jul 26, 2011 16:58

Isso é um teorema importante, que a média aritmética é sempre maior ou igual a média geométrica.
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Re: Colégio Naval

Mensagempor LuizAquino » Ter Jul 26, 2011 21:35

Fabricio dalla escreveu:eu n entendi o que Marcelo Fantine fez.ele pré supôs fazendo aquela comparaçao de que a media aritimetica e maior que media geometrica pra conseguir resolver a questão ?


Dados dois números reais positivos, é fácil verificar que \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} .

Em outras palavras, como escreveu o colega Fantini, essa desigualdade nos diz que a média aritmética entre dois números é sempre maior ou igual do que a média geométrica entre eles.

Para justificar essa desigualdade, começamos observando o fato de que \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2 \geq 0, para quaisquer a e b reais positivos.

Desenvolvendo o produto notável, obtemos:

\left(\sqrt{a}\right)^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} +  \left(\sqrt{b}\right)^2 \geq 0

Mas, isso é o mesmo que:

a - 2\sqrt{ab} +  b \geq 0

Por fim, podemos reescrever essa desigualdade como:

\frac{a +  b}{2} \geq \sqrt{ab}

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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}