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Mensagempor Claudin » Qua Jul 20, 2011 19:45

Não conseguir chegar no gabarito correto do limite

\lim_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}
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Re: Limite

Mensagempor Claudin » Qua Jul 20, 2011 19:48

1º passo tenho que desenvolver o polinômio de grau 3?

(x+h)^3=x^3+3xh^2+3x^2h+h^3

\lim_{h\rightarrow0}=\frac{(x^3+3xh^2+3x^2h+h^3)-x^3}{h}
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Re: Limite

Mensagempor giulioaltoe » Qua Jul 20, 2011 19:51

esse é o unico passo que voce tem que dar... agora so simplifique a equação!
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Re: Limite

Mensagempor FilipeCaceres » Qua Jul 20, 2011 19:53

Olá Claudin,

Para resolver está questão, basicamente você deve calcular está expansão (x-h)^3 o fator x^3 irá se cancelar, e depois isole h do numerador,caso não se lembre como fazer está expansão leia aqui.

Abraço.
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Re: Limite

Mensagempor LuizAquino » Qua Jul 20, 2011 21:30

Não há necessidade de realizar a expansão.

Novamente, é uma questão de aplicar o produto notável:

a^3 - b^3 = (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right)

No caso, há a expressão (x+h)^3 - x^3 .

Comparando com o produto notavél acima, podemos notar a seguinte analogia: a=x+h e b = x .

Obviamente, também é possível fazer aplicando a expansão.

\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3}{h}

= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}

= \lim_{h\rightarrow 0} (3x^2+3xh+h^2)

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Re: Limite

Mensagempor Claudin » Qui Jul 21, 2011 00:53

Então eu tinha desenvolvido corretamente, só não fiz a simplificação.
Valeu Luiz. :y:
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

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Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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