Dedução da área do círculo.

por **Civil UFSCar** » Ter Jun 21, 2011 13:24

PESSOAL, PRECISO DE AJUDA, NÃO CONSIGO DEDUZIR A ÁREA DO CÍRCULO!

EU COMECEI A FAZER:

$\int_{0}^{r}\sqrt[]{r^2-x^2}$

dai, fiz o triângulo todo certinho e ficou assim:

hipotenusa=R
cateto oposto=x
cateto adjacente= $\sqrt[2]{r^2-x^2}$

então, achei que dentro da raiz ficaria (1-sen²)

(lembrando que eu multiplicaria por 4r no fim pois eu calcularia somente 1/4 do círculo, e o r eu tirei de dentro da integral)

mas e agora o que eu faço?? depois de mudar o x^2/r^2 por sen, eu não sei o que eu coloco no intervalo de integração.

Agradeço a atenção de todos! Obrigado

por **Molina** » Ter Jun 21, 2011 15:02

O exercício quer que você deduza a fórmula da área do círculo através de integral?

por **LuizAquino** » Ter Jun 21, 2011 16:08

Para resolver $\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx$ , você deve usar a técnica de substituição trigonométrica.

No caso, faça a substituição $x = r\,\textrm{sen}\,u$ . Dessa forma, $dx = r\cos u\,du$ .

Alterando o intervalo de integração, para u = 0 temos x = 0 e para u = pi/2 temos x = r.

Desse modo, fazendo todas as simplificações, você precisa resolver: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r^2\cos^2 u\,du$ .

Dedução da área do círculo.

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