Vértices do tetraedro e equação geral do plano

por **-civil-** » Qua Jun 15, 2011 23:04

O plano $\pi$ contém
r : x - y = 0
x + z - 1 = 0
e determina, com os planos coordenados, um tetraedro de volume $\frac{1}{12}$ . Supondo que estamos num sistema ortogonal, obtenha os vértices do tetraedro e uma equação geral de $\pi$ .

O volume do tetraedro é $\frac{1}{3} \times {Área da base} \times {h}$ = $\frac{(a^3)\times(\sqrt{2})}{12}$ , sendo "a" a aresta do tetraedro

O volume dado é $\frac{1}{12}$ . Daí, igualando as equações $(a^3)\times\sqrt{2} = 1$

Eu transformei a equação de r para a forma vetorial e considerando x= $\lambda$ , obtive:
r: X = (0,0,1) + $\lambda$ (1,1,-1)

Eu considerei o mesmo ponto e vetor diretor da reta r, como o ponto e um dos vetores diretores de $\pi$ mas eu preciso também de mais um vetor de $\pi$ . Não sei como prosseguir.

Agradeço pela ajuda

por **LuizAquino** » Qui Jun 16, 2011 17:57

O tetraedro do exercício não é regular (isto é, não é formado por triângulos equiláteros). Portanto, você não pode usar a fórmula para o volume como se todas as arestas fossem iguais.

Aqui vão três dicas:
(i) se $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ representam as arestas partindo de um mesmo vértice do tetraedro, então o seu volume é dado por $V = \frac{1}{6}|\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})|$ .
(ii) um dos vértices do tetraedro é a origem do sistema de coordenadas.
(iii) um dos vértices do tetraedro coincide com a interseção de r com o eixo z.

Vértices do tetraedro e equação geral do plano

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