Quadrilátero

por **maria cleide** » Dom Mai 29, 2011 17:55

No quadrilátero abaixo, BC=CD=3

cm,

cm, ângulo

graus e ângulo

graus. A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é:
A-( )11
B-( )12
C-( )13
D-( )14

Como fiz:
Tracei as diagonais e depois apliquei o teorema de pitágoras, encontrando o lado x $=\sqrt{13}$ que é aproximadamente 3,6

. Somando os lados encontrei o perímetro igual a 11,6

que eu aproximei para resposta 12. Está certo meu raciocínio?Existe outra forma de fazer que não seja aproximado?

por **maria cleide** » Sex Jun 03, 2011 22:50

Por favor, alguém pode me ajudar?

por **carlosalesouza** » Sáb Jun 04, 2011 01:00

Olá... vamos passo a passo...

vc encontrou a diagonal $AC = \sqrt 13$ está correto...

agora, note que temos o angulo D=60º

sabemos que $sen60^\circ = \frac{\sqrt 3}{2}$ e $cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ ...

Agora traçemos o segmento EC, de modo que forme um angulo de 90º com AD...

sabendo que D=60 e conhecendo o seno e cosseno, sabemos que

3 -- 1
ED -- cos(60)

3cos(60) = x
$\\ x = 3.\frac{1}{2}\\ x = \frac{3}{2}$

Então a medida ED=3/2

Da mesma forma:
3 -- 1
EC -- sen(60)

$\\ 3sen(60) = x\\ x = \frac{3\sqrt 3}{2}$

Agora, já que sabemos EC e AC, vemos que AC é a hipotenusa de ACE, então:

$\\ AC^2 = EC^2 + AE^2\\ (\sqrt 13)^2 = \left (\frac{3\sqrt 3}{2}\right )^2 + AE^2\\ 13 = \frac{9\cdot 3}{4} + AE^2\\ AE^2 = 13 - \frac{27}{4}\\ AE^2 = \frac{52 - 27}{4}\\ AE^2 = \frac{25}{4}\\ AE = \frac{5}{2}$

Então, com ED = 3/2 e AE = 5/2 e AD = ED + AE, então:

AD = 3/2 + 5/2 = 8/2 = 4

Desse modo AB + BC + CD + AD = 2 + 3 + 3 + 4 = 11

Certo?

Um abraço

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