Limite

por **Claudin** » Qua Mai 25, 2011 18:09

Notei que em alguns exercícios de limite
utiliza-se diversas estratégias para resolução do mesmo.
Porém, em algumas dessas estratégias seria a de utilizar somente valores
com expoentes maiores, porque ela nao poderia ser adotada em todos os tipos de limites
ate em por exemplo limites que possuem polinômios do 3º grau. Porque ela é utilizada
em limites que possuem polinômios de grau 5,6,7...

Abraço

por **LuizAquino** » Qua Mai 25, 2011 20:57

Você deve estar referindo-se a limites do tipo:

$\lim_{x\to \pm \infty} \frac{a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + a_1x + a_0}{b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + b_1x + b_0}$ .

Nesses casos específicos, com x assumindo valores positivos extremamente grandes ou valores negativos extremamento pequenos, no cálculo das somas que aparecem tanto no numerador quanto no denominador, os termos a_mx^m

e

serão dominantes. Ou seja, os outros termos serão desprezíveis quando comparados com esses dois.

Nesse sentido, ao resolver limites como esses, há uma estratégia de reduzi-lo a:

$\lim_{x\to \pm \infty} \frac{a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + a_1x + a_0}{b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + b_1x + b_0} = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{a_mx^m}{b_nx^n}$ .

Particularmente, eu não gosto de aplicar essa estratégia de redução. Eu acredito ser mais condizente dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo monômio de maior grau e em seguida usar o fato que $\lim_{x\to \pm\infty} \frac{1}{x^k} = 0$ (com k natural e não nulo).

Por outro lado, em limites parecidos com esse, mas com x aproximando-se de um número c específico, cada termo que aparece nas somas é relevante. Por esse motivo não podemos efetuar a redução feita anteriormente. Ou seja, teremos que:
$\lim_{x\to c} \frac{a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + a_1x + a_0}{b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + b_1x + b_0} \neq \lim_{x\to c} \frac{a_mx^m}{b_nx^n}$ .

por **Claudin** » Sex Mai 27, 2011 16:16

Compreendi.

Mas, utilizando a estratégia de "dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo monômio de maior grau"
eu poderia aplicar em qualquer tipo de exercício de limite ou só quando for $\lim_{x\rightarrow+-\infty}$ ?

por **LuizAquino** » Sex Mai 27, 2011 17:43

Que tal você refletir um pouco a respeito?

Tente resolver ambos os limites abaixo dividindo tanto o numerador quanto o denominador por x^2

.
(a) $\lim_{x\to 2} \frac{x - 2}{x^2 - 4}$ (resposta: 1/4).

(b) $\lim_{x\to +\infty} \frac{x - 2}{x^2 - 4}$ (resposta: 0).

Agora, reflita sobre a seguinte pergunta: a estratégia serviu para ambos os casos?

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