Derivada

por **Thuany Lessa** » Sáb Mai 14, 2011 17:31

Boa tarde!
Estou tendo dificuldades nesta questão, sinceramente, não sei nem por onde começar, aguardo ajudas.
Seja f(z)=|z|, calcule a derivada da função pela definição. (Z é número complexo)

Grata.

por **LuizAquino** » Dom Mai 15, 2011 19:58

Por definição, temos que a derivada dessa função complexa f(z) = |z| é:
$f^\prime(z) = \lim_{h\to 0} \frac{|z+h|-|z|}{h}$

Desenvolvendo esse limite, temos que:
$f^\prime(z) = \lim_{h\to 0} \frac{(|z+h|-|z|)(|z+h|+|z|)}{h(|z+h|+|z|)}$

$f^\prime(z) = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h} + \overline{z}h + h\overline{h}}{h(|z+h|+|z|)}$

$f^\prime(z) = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}}{h(|z+h|+|z|)} + \frac{\overline{z} + \overline{h}}{|z+h|+|z|}$

Agora, sugiro que você analise esse limite para h tendendo a zero por dois caminhos:
(a) seguindo o eixo real;
(b) seguindo o eixo imaginário.

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