hexagono

por **maria cleide** » Qui Mai 12, 2011 17:58

Na figura, ABCDE e F são vértices de um hexágono regular inscrito num círculo, cujo raio mede 1m. A área da região hachurada é quanto em m^2

?
Supus que a área hachurada era um terço, pois cada a cirgunferência foi dividida em 3 partes diferentes, logo encontrei a área do hexagono formado pela união dos triângulos e dividi por 3: $\dfrac{6\cdot1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Mas foi somente uma suposiçao, como fazer?

por **MarceloFantini** » Qui Mai 12, 2011 18:37

Você não pode supor que a área hachurada é um terço.

por **maria cleide** » Qui Mai 12, 2011 20:42

Mas então, como posso desenvolver o problema?

por **FilipeCaceres** » Qui Mai 12, 2011 21:08

Ola Maria Cleide,
Só uma coisinha, como se trata de uma apostila acredito de deva ter os gabaritos, sendo assim peço que sempre os tiver peço que poste juntamente.

Como se trata de um hexagono,observe que este estralhado hachurada nada mais é do que dois triângulos equiláteros, sendo que um rotacionado.
A área de um triângulo equilátero é fácil $A_t=\frac{l^2.\sqrt{3}}{4}$ , agora observe que temos um "furo" na intersecção dos dois triângulos com um formato de hexagono( $A'_{hex}$ ) também.

Logo, para saber o valor do restante, basta fazer:
$A_{hachurado}=2.(A_{tri}-A'_{hex})$

Qualquer dúvida poste novamente.

por **FilipeCaceres** » Qui Mai 12, 2011 21:39

Uma outra forma mais simples seria fazer o seguinte, calcular qual é a altura dos "triângulozinhos" que vale $h=\frac{1}{2}$ e como sabemos que um hexagono é formado por 6 triângulos equiláteros, bastava você calcular qual seria a altura deles, e desta forma você decobriria que ambos tem a mesma medida, portanto a área hachurada é igual a área do hexagono menor.

Agora só resta vc achar quando vale o lado deste hexagono menor e calcular sua área.

Abraço.

por **maria cleide** » Qui Mai 12, 2011 23:01

Meu problema é como achar o lado do triângulo, como posso encontra-lo?

por **FilipeCaceres** » Sex Mai 13, 2011 01:02

Basta você saber que quando temos um triângulo equilátero inscrito em uma circunferênria temos as seguintes relações:
$r=\frac{2}{3}h$

$h=\frac{l\sqrt{3}}{2}$

Qualquer dúvida poste novamente.

Abraço.

por **maria cleide** » Sex Mai 13, 2011 22:15

Solução: Como a altura do triângulo menor é $\dfrac{1}{2}$ a do maior é $\dfrac{3}{2}$ . Descobri o valor do lado do triângulo equilátero maior com base na igualdade $\dfrac{l\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}$ encontrando $l=\sqrt{3}$ , logo o lado do triângulo menor que é a mesma do hexagono será $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ . Então calculei o valor da área do hexagono $\dfrac{6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=[tex]\dfrac{3}{2}$ [/tex]. Porém o resultado não bateu com o gabarito que mostra que o valor é $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Você consegue identificar onde errei?

por **FilipeCaceres** » Sex Mai 13, 2011 22:28

A área do hexágono é igual a seis vezes a área de um triângulo equilátero, logo
A_h=6.A_t

$A_h=6.\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$

Como o lado vale,
$l=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Assim temos,
$A_h=6.\frac{(\frac{\sqrt{3}}{3})^2\sqrt{3}}{4}$

$A_h=6.\frac{3.\sqrt{3}}{9.4}$

Portanto,
$A_h=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Abraço.

por **maria cleide** » Sex Mai 13, 2011 22:41

Obrigada! Até breve.
Abraço Maria Cleide.

hexagono

hexagono

hexagono

Re: hexagono

Re: hexagono

Re: hexagono

Re: hexagono

Re: hexagono

Re: hexagono

Re: hexagono

Re: hexagono

Re: hexagono

Quem está online