Duvida limite indeterminado

por **ewald** » Seg Mai 09, 2011 17:20

Oi tenho essa duvida,, ja tentei de todas as formas que eu imaginei, ja vi aulas no youtube etc. O problema dessa é que tem uma raiz cubica. Eu consigo resolver de raiz quadrada, raiz quarta ... mais de impares eu me confundo. Alguem pode por favor resolver pra mim. *-)

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{{(1+2x)}^{1/3}-1}{x}$

por **LuizAquino** » Seg Mai 09, 2011 20:01

Como sempre, é uma questão de usar produtos notáveis.

Sabemos que:
$a^3 - b^3 = (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right)$ .

Desse modo, você precisa multiplicar o numerador e o denominador por:
$\left(\sqrt[3]{(1+2x)^2} + \sqrt[3]{1+2x} + 1\right)$

Note que fazendo isso você fará com que no numerador apareça o produto notável desejado:
$\left(\sqrt[3]{1+2x} - 1\right)\left(\sqrt[3]{(1+2x)^2} + \sqrt[3]{1+2x} + 1\right) = \left(\sqrt[3]{1+2x}\right)^3 - 1^3 = 2x$

Podemos também usar outra estratégia. Façamos a substituição de variáveis: $u = \sqrt[3]{1+2x}$ . Teremos que quando x tende para 0, u tenderá para 1. Além disso, temos que $x = \frac{u^3-1}{2}$ . Desse modo, o limite original é equivalente a:

$\lim_{u\to 1} \frac{2(u - 1)}{u^3 - 1}$ .

Note que de novo você usará o produto notável indicado anteriormente.

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