Como resolver a equação linear?

por **btag** » Qui Mai 05, 2011 14:33

x+3y-2z=5
3x+5y+6z=7
2x+4y+3z=8

por **carlosalesouza** » Qui Mai 05, 2011 15:39

Existem diversas formas. Pode ser feito por matriz, por substituição, enfim...

Por matriz é mais fácil... por substituição é melhor de entender (a meu ver)

Considerando que x, y e z mantém o mesmo valor nas três equações, o que é necessário para caracterizar o sistema de equações, pegue uma equação, encontre a relação entre uma das variáveis e as demais...

Depois, pegue outra sentença e substitua a variável que voce encontrou... assim, restarão duas variáveis... isole uma delas e siga substituindo... rs em breve voce terá o valor de uma delas e poderá, sempre substituindo, encontrar o valor das três...

Como disse, este não é o caminho mais fácil, mas permite que voce visualize bem a relação entre as variáveis...

Outro método é o da soma... da mesma forma que num sistema com duas variáveis...

Voce separa duas equações e multiplica os dois lados da igualdade de uma delas por um valor que faça com que uma das variáveis da primeira sentença se torne simétrica à da segunda equação.... então você soma os termos restantes do produto e no final te sobrarão duas variáveis numa nova equação. Voce isola uma delas e segue substituindo... rs

Pra ficar mais fácil de entender, vamos usar um outros sistema similar:

$\\ \left \{ \begin{matrix} x - 3y + 5z = 1\\ x + 2y + z = 12\\ 2x - y + 3z = 10 \end{matrix}\right$

Pela soma, separamos as duas primeiras e multiplicando a primeira por -1
$x - 3y + 5z = 1 (-1)\\ x + 2y + z = 12$

Somando as duas equações:
$\\ x - x + 2y + 3y + z - 5z = 12 - 1\\ 5y - 4z = 11\\ 5y = 11 + 4z \\ y = \frac{11 + 4z}{5}$

Podemos, então, subsitituir o y por $\frac{11 + 4z}{5}$ em qualquer das equações iniciais
$\\ 2x - y + 3z = 10\\ 2x - \frac{11 + 4z}{5} + 3z = 10\\ 2x +\frac{15z -(11 + 4z)}{5} = 10 \\ 2x + \frac{15z - 4z - 11}{5} = 10\\ 2x + \frac{11z-11}{5}=10\\ 2x = 10 - \frac{11}{5}(z-1) \\ x = 5 - \frac{11}{10}(z-1)$

Temos agora duas variáveis que podem ser substituídas por z...

$\\ x - 3y +5z = 1\\ 5 - \frac{11}{10}(z-1) - 3(\frac{11+4z}{5}) + 5z = 1\\ \frac{50- (11z - 11) - 6(11+4z)+50z-10}{10}=0\\ \frac{50 + 11 - 66 - 10 - 11z - 24z + 50z}{10}=0\\ \frac{61-76}{10}+\frac{50z - 35z}{10}=0\\ -\frac{15}{10}+\frac{15z}{10}=0\\ \frac{3}{2}z=\frac{3}{2}\\ z = 1$

Assim:
$\\ y = \frac{11+4z}{5}\\ y = \frac{11+4(1)}{5}\\ y = \frac{15}{5}\\ y = 3$

e

$\\ x = 5 - \frac{11}{10}(z-1)\\ x = 5 - \frac{11}{10}(0)\\ x = 5$

Certo? Existem diversos caminhos, mas idéia é sempre levar em consideração as propriedades da igualdade.

O caminho da matriz é com certeza o mais rápido, pois a matriz é um algoritmo válido para realizar esse tipo de procedimento... infelizmente, a menos que voce entenda a natureza da matriz, a solução pode parecer ter vindo por mágica, e voce acaba não entendendo o funcionamento da resolução... pela soma e pela substituição, voce visualiza o desenrolar da resolução de forma mais descritiva, ficando mais fácil aprender e não esquecer mais...

Espero ter ajudado, qualquer dúvida, é só falar....

Como resolver a equação linear?

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