Calculo de Limite de Função Racional

por **joaofonseca** » Qua Mai 04, 2011 20:50

Seja o seguinte limite:

$\lim_{x \to\infty }\frac{x^{2}+1}{x-4}$

Ao definir o dominio da função, fiquei a saber que excluí o número 4, pois é o valor que anula o denominador. Pelo metodo experimental, fui substituindo x por valores cada vez maiores. Cheguei à conclusão que o limite seria x+4

. Será verdade?
Como posso chegar à mesma conclusão de uma forma analitica/algébrica?

Obrigado

por **LuizAquino** » Qua Mai 04, 2011 21:03

Note que:
$\lim_{x \to + \infty }\frac{x^{2}+1}{x-4} = \lim_{x \to + \infty }\frac{(x^{2}+1):x^2}{(x-4):x^2} = \lim_{x \to + \infty }\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}} = +\infty$

Sugestão
Eu acredito que o tópico abaixo possa lhe interessar.

Curso de Cálculo I no YouTube
viewtopic.php?f=137&t=4280

por **joaofonseca** » Qua Mai 04, 2011 21:39

Então o racíocino que posso fazer é:

$\lim_{x \to \infty}1=1$

$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^2}=0$

$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0$

$\lim_{x \to \infty}\frac{4}{x^2}=0$

Assim:

$\frac{1+0}{0+0}=\frac{1}{0}$

que é uma indeterminação.Não entendi.

por **LuizAquino** » Qua Mai 04, 2011 23:53

Eu recomendo que você assista a vídeo-aula "06. Cálculo I - Limites no Infinito" no meu canal no YouTube, cujo o endereço está no tópico que sugeri anteriormente.

Note que $\lim_{x \to + \infty }1+\frac{1}{x^2}=1+0=1$ e $\lim_{x \to + \infty }\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}=0-0=0$ . Além disso, analisando a função $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 4}$ percebemos que para x > 4 temos que f(x) > 0. Considerando essas informações, temos que $\lim_{x \to + \infty }\frac{x^2 + 1}{x - 4} = +\infty$