Indução Matemática

por **Abelardo** » Qui Mar 31, 2011 03:04

Essa questão retirei de um livro de aritmética elementar. Se

for um número natural, demonstre que ${3}^{2n+2}-{2}^{n+1}$ é divisível por 7.

Para p(1)

terei que ${3}^{2x2+2}-{2}^{1+1}$ é igual a $\frac{77}{7}$ ;

Por hipótese de indução p(k)

tenho que ${3}^{2k+2}-{2}^{k+1}$ é divisível por

. Agora provo que p(k+1)

é divisível por

.

$\Rightarrow$ $\frac{{3}^{2k+4}-{2}^{k+2}}{7}$ $\Rightarrow$ $\frac{{3}^{2k+2}.9 -{2}^{k+1}.2}{7}$ .

Para facilitar, chamei ${3}^{2k+2}$ de $\theta$ e ${2}^{k+1}$ de $\Phi$ .

$\frac{9\Theta-2\Phi}{7}$ $\Rightarrow$ $\frac{(8+1)\Theta- (1+1)\Phi}{7}$ $\Rightarrow$ $\frac{8\Theta+1\Theta-\Phi-\Phi}{7}$

$\Rightarrow \frac{8\Theta-\Phi+(\Theta-\Phi)}{7}$ $\Rightarrow$ $\frac{(7+1)\Theta-\Phi+(\Theta-\Phi)}{7}$ $\Rightarrow$ $\frac{7\Theta+(\Theta-\Phi)+(\Theta-\Phi)}{7}$

$\frac{7\Theta}{7}$

$\frac{\Theta-\Phi}{7}$

$\frac{\Theta-\Phi}{7}$ .

Pela hipótese de indução $\Theta-\Phi={3}^{2k+2}-{2}^{k+1}$ é divísel por 7 e ${7\Theta$ é divisível por 7. Como no livro não há ''resposta'' para as questões sobre indução, vocês poderiam analisar e ''apontar'' os erros presentes?

por **LuizAquino** » Qui Mar 31, 2011 11:27

Basicamente, como todo aluno que inicia o estudo em técnicas de demonstração, lhe faltou organização. Além disso, você escreveu expressões não condizentes. Por exemplo, ${3}^{2\cdot 1+2}-{2}^{1+1}$ não é igual a $\frac{77}{7}$ .

Abelardo escreveu:Para p(1) terei que ${3}^{2x2+2}-{2}^{1+1}$ é igual a $\frac{77}{7}$ ;

"Para p(1) terei que" ${3}^{2\cdot 1+2}-{2}^{1+1}$ "é igual a 77". O qué divisível por 7.

(...)

Abelardo escreveu: $p(k+1) \Rightarrow \frac{{3}^{2k+4}-{2}^{k+2}}{7} \Rightarrow \frac{{3}^{2k+2}.9 -{2}^{k+1}.2}{7}$

$p(k+1) \Rightarrow {3}^{2k+4}-{2}^{k+2} \Rightarrow {3}^{2k+2}\cdot 9 - {2}^{k+1}\cdot 2$

(...)

Abelardo escreveu:Para facilitar, chamei ${3}^{2k+2}$ de $\theta$ e ${2}^{k+1}$ de $\Phi$ .

$\frac{9\Theta-2\Phi}{7} \Rightarrow \frac{(8+1)\Theta- (1+1)\Phi}{7} \Rightarrow \frac{8\Theta+1\Theta-\Phi-\Phi}{7}$

$\Rightarrow \frac{8\Theta-\Phi+(\Theta-\Phi)}{7} \Rightarrow \frac{(7+1)\Theta-\Phi+(\Theta-\Phi)}{7} \Rightarrow \frac{7\Theta+(\Theta-\Phi)+(\Theta-\Phi)}{7}$

$\frac{7\Theta}{7} + \frac{\Theta-\Phi}{7} + \frac{\Theta-\Phi}{7}$

"Para facilitar, chamei ${3}^{2k+2}$ de" $\Theta$ .

$9\Theta-2\Phi \Rightarrow (7+2)\Theta - 2\Phi \Rightarrow 7\Theta+2(\Theta-\Phi)$

Como 7 divide $7\Theta$ e pela hipótese de indução 7 divide $\Theta-\Phi$ , então 7 divide a soma $7\Theta+2(\Theta-\Phi)$ .

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