Função de segundo grau simples

por **Allanx** » Sáb Mar 26, 2011 00:02

Opa pessoal beleza? Comecei a ler a série "Fundamentos da Matemática Elementar". Ainda no primeiro volume estou tendo problemas com o exercicio A177 letra J que é o seguinte $f(x) = x^2 +(1-\sqrt3) - \sqrt3$ , enquanto calculava o delta cheguei nisso:
$\Delta = (1-\sqrt3)^2 - 4.1.(-\sqrt3) = 1-2\sqrt3+3 +4\sqrt3 = 4+2\sqrt3$
isso me pareceu bem estranho, imaginei que o delta não possuiria nenhuma raiz quadrada, a equação toda ficaria assim:
$f(x) =\frac{-1+\sqrt3 \pm \sqrt {4+2\sqrt3}}2$
Os resultados seriam x = -1

e $x = \sqrt3$
Acredito ter errado em alguma coisa bem boba, mas não consigo identificá-la. Obrigado pela ajuda.
PS: Primeira vez usando o LaTex então talvez alguma coisa na fórmula não tenha ficado como deveria.

por **FilipeCaceres** » Sáb Mar 26, 2011 00:36

Para primeira vez esta muito bom =)
Mas sobre a questão, não encontrei nenhum erro. Você so não terminou a solução, pelo jeito ainda nao conhece o tal de radical duplo né?!Mas não se preocupe, vou dar uma palhinha.

Não vou demonstrar, peço que procure por radical duplo.

Seja a e b radicais,tais que
b>0

$a\pm \sqrt{b}>0$

Desde que $c=\sqrt{a^2-b}$ seja racional,temos:
$\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+c}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-c}{2}}$

OBS.: É importante então observar que a transformação não é possível se $\sqrt{a^2-b}$ não for racional.

Resolvendo a questão temos:
$\sqrt{4+2.\sqrt{3}}=\sqrt{4+\sqrt{12}}$

Desta forma,
$c=\sqrt{4^2-12}=2$

Logo,
$\sqrt{4+2.\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4+2}{2}}+\sqrt{\frac{4-4}{2}}$
$\sqrt{4+2.\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1$

Portanto,
$x_{1,2} =\frac{(-1+\sqrt3) \pm \sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2}=\frac{(-1+\sqrt3) \pm (1+\sqrt{3})}{2}$

$x_1=\frac{-1+\sqrt{3}+1+\sqrt{3}}{2}$
$x_1=\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-1+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}}{2}$
x_2=-1

Espero ter ajudado.

por **MarceloFantini** » Sáb Mar 26, 2011 01:45

Também nunca usei radical duplo. Onde aprendeu isso?

Para resolver, talvez soma e produto ajudassem sem precisar do radical duplo. Que números quando somados dão $\sqrt{3} -1$ e multiplicados $- \sqrt{3}$ ? Fica um tanto quanto nítido. Não sei ele já ensinou isso, portanto talvez desconsidere. O caso é que eu acho que esse método pelo tal "radical duplo" é usar um canhão para matar uma formiga. Acho específico demais (pessoalmente nunca vi isso em nenhuma prova, vestibular, livro de ensino médio ou matéria da universidade) para ser usado num único problema. Deve existir um outro jeito de visualizar, possivelmente sem ser o meu ou do radical, de forma mais natural e sem uso de tal artifício.

por **LuizAquino** » Sáb Mar 26, 2011 11:22

Esse é um conteúdo que deve (ou deveria) ser visto ao ensinarmos a resolução de equações do 2º grau no ensino fundamental.

A ideia básica é determinar x e y positivos tais que $a+\sqrt{b} = (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$ . Desse modo, temos que $\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} = \sqrt{x}+\sqrt{y}$ .

Note que determinar esse x e y consiste em resolver o sistema:
$\begin{cases} x+y=a \\ 2\sqrt{xy}=\sqrt{b} \end{cases}$

Mas, esse sistema é equivalente a:
$\begin{cases} x+y=a \\ xy=\frac{b}{4} \end{cases}$

Desse modo, queremos determinar dois números cuja a soma seja a e o produto seja b/4. Ou seja, queremos as soluções da equação:
$u^2-au+\frac{b}{4}=0$

Essa equação só possui soluções reais se $\Delta = a^2 - b \geq 0$ . Nesse caso, as soluções serão: $x=\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2}$ e $y=\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2}$ .

Portanto, teremos que:
$\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2}}$

Agora, chamando $\sqrt{a^2-b} = c$ , chegamos na relação:

$\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + c}{2}}+\sqrt{\frac{a - c}{2}}$

Por fim, note que essa estratégia só é interessante se $\sqrt{a^2-b}=c$ for racional. Se isso fosse irracional, teríamos que $\sqrt{a^2-b}=\sqrt{d}$ para algum d. Daí a simplificação não seria interessante, pois ficaríamos com:
$\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{d}}{2}}+\sqrt{\frac{a - \sqrt{d}}{2}}$

Vale destacar que no caso particular da equação $x^2 +(1-\sqrt{3})x - \sqrt{3} = 0$ , o caminho mais simples é mesmo analisar a soma e o produto das raízes.

Entretanto, imagine que o exercício fosse resolver a equação $x^2-3x - \sqrt{5}=0$ . Duas raízes para essa equação são $x^\prime = \frac{5+\sqrt{5}}{2}$ e $x^{\prime\prime} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Note que seria difícil ter chegado nessa solução usando a estratégia de analisar a soma e o produto das raízes. Entretanto, usando a estratégia acima podemos chegar nesse resultado.

por **MarceloFantini** » Sáb Mar 26, 2011 15:28

Acho que é muito trabalho por pouco. Não tem grandes conceitos a serem trabalhados, apenas um método de explicitar raízes. É mais conta do que raciocínio, o que eu sou contra, mas enfim.

por **LuizAquino** » Sáb Mar 26, 2011 15:42

De fato, há de se fazer muitas contas. Entretanto, é comum repostas assim aparecerem nos gabaritos dos livros, vestibulares e concursos.

Por exemplo, muito provavelmente a equação $x^2-3x - \sqrt{5}=0$ teria como gabarito $x^\prime = \frac{5+\sqrt{5}}{2}$ e $x^{\prime\prime} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ e não $x^\prime = \frac{3+\sqrt{9+4\sqrt{5}}}{2}$ e $x^{\prime\prime} = \frac{3-\sqrt{9+4\sqrt{5}}}{2}$ .

Por esse motivo, é necessário saber como operar com $\sqrt{9+4\sqrt{5}}$ para transformá-lo em $2+\sqrt{5}$ .

por **MarceloFantini** » Sáb Mar 26, 2011 16:05

Raramente eu vi equações com esse tipo de coeficientes. Acho que estão mudando o foco (ótimo) das contas para o raciocínio.

por **LuizAquino** » Sáb Mar 26, 2011 16:13

Confie em mim. Elas aparecem com frequência. :-D

por **Allanx** » Dom Mar 27, 2011 00:10

LuizAquino: sua "palhinha" foi o conceito inteiro, bem detalhado MESMO.
Fantini: Realmente, nesse caso ficou bem óbvio, poderia ter resolvido com o que sabia, bobiei.

Agradeço a ambos pela ajuda, da próxima vez ficarei mais atento a propriedades básicas e tenho mais uma fórmula útil, que nunca havia visto, no meu repertório.
Agora sei que posso prosseguir tranquilo com os livros, mas sobrará para vocês que terão que matar muitas dúvidas.
Obrigado.

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