Coordenadas Polares

por **Bruhh** » Seg Mar 21, 2011 15:39

Olá Boa Tarde :-D

Então, não entendi como resolvo uma integral dupla usando coornadas polares.
Abaixo o problema, minhas dúvidas e tentativas:

*Determinar a área da região usando coordenadas polares.
(Desenho em anexo)

Como eu transformo uma integral cartesiana para outra polar??
Li em um livro que devo substituir x= r.cos@ e y= r.sen@ então ficaria (r.cos@)² + (r.sen@)² = 1???E qual dessas funções que
eu tenho que integrar? E como sei que é a certa?
E os limites de integração, como transformo, por exemplo $\sqrt[]{3}$ .x em alguma coisa com Pi??

Desculpe tantas dúvidas.
Obrigada pela ajuda.

por **Elcioschin** » Seg Mar 21, 2011 19:48

x² + y² = 16 ----> y = V(16 - x²)

S = Int[ydx] ----> S = Int[V(16 - x²)dx]

x = r*cos@ ----> x² = 4²cos²@ ----> x² = 16cos²@

dx = - rsen@d@ ----> dx = - 4sen@d@

S = Int[V(16 - 16cos²@)*(- 4sen@)]d@ -----> S = Int[(4sen@)*(-4sen@)*d@ ----> S = Int[- 16sen²@d@ -----> S = - 16*Int[sen²@d@]

Limites de @ -----> de @ = 0 até @ = pi/3 (arctgV3)

Basta agora integrar e aplicar os limites

por **LuizAquino** » Seg Mar 21, 2011 20:02

: funcoes-coordenadas-polares.png (16.93 KiB) Exibido 4034 vezes

1) Qual é o ponto de interseção (no primeiro quadrante) entre as curvas $y=\sqrt{3}x$ e x^2+y^2=16

? Você deve ser capaz de calcular que é $(2,\, 2\sqrt{3})$ .

2) Qual é o valor do ângulo $\alpha$ ilustrado na figura acima? Com base no ponto de interseção calculado anteriormente, você deve ser capaz de calcular que o valor desse ângulo é $\frac{\pi}{3}$ .

3) Qual é a função que representa uma circunferência de raio 4 em coordenadas polares? Você deve ser capaz de dizer que é $f(\theta)=4$ .

4) Sabemos que a área de uma região delimitada por uma curva f em coordenadas polares, com ângulo variando no intervalo [a, b], é dada por $A=\frac{1}{2}\int_a^b [f(\theta)]^2 \, d\theta$ . Desse modo, você tem que calcular $A=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{3} 4^2 \, d\theta$ .

por **MarceloFantini** » Seg Mar 21, 2011 23:17

Acho que com integrais duplas ficaria assim:

$A = \int_0^{\frac{\pi}{3}}\int_0^4 \rho \,d \rho \,d \theta = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{\rho^2}{2} \right)_0^4 \, d \theta = 8 \int_0^{\frac{\pi}{3}} \, d \theta = \frac{8 \pi}{3}$