Álgebra: uma dúvida

por **Caeros** » Sex Mar 18, 2011 14:50

Sejam A = R e $\Re$ uma relação definida em R por:
x $\Re$ y $\:\Leftrightarrow\:0\leq\:x-y\:\leq\:1$
Mostre que $\Re$ o ${\Re}^{-1}$ = { $(x,z)\:\in\:{R}^{2}:\left|x-z \right|\:\leq1$ }
Por definição de composição de relações temos:
$\Re\:o\:{\Re}^{-1}$
= { $(x,z)\:\in\:{R}^{2}:\exists\:y\:\in\:R\:tal\:que\:(x,y)\:\in\:{\Re}^{-1}\:e\:(y,z)\:\in\:\Re$ }
= { $(x,z)\:\in\:{R}^{2}:\exists\:y\:\in\:R\:tal\:que\:(y,x)\:\in\:\Re\:e\:(y,z)\:\in\:\Re$ }
= { $(x,z)\:\in\:{R}^{2}:\exists\:y\:\in\:R\:tal\:que\:0\leq\:y-x\:\leq\:1\:e\:0\leq\:y-z\:\leq\:1$ }
Seja S = { $(x,z)\:\in\:{R}^{2}:\left|x-z \right|\:\leq1$ }.
Devemos mostrar que $\Re$ o ${\Re}^{-1}$ = S.
De fato,
$(x,y)\:\in\:\Re\:o\:{\Re}^{-1}\Rightarrow\:0\leq\:y-x\:\leq\:1\:e\:0\leq\:y-z\:\leq\:1$
mas,
$0\leq\:y-x\:\leq\:1,\:0\leq\:y-z\:\leq\:1$
$\Rightarrow\:y-z\leq1$
$\Rightarrow\:y-z\leq1+y-x$
$\Rightarrow\:x-z\leq1$

$0\leq\:y-x\:\leq\:1,\:0\leq\:y-z\:\leq\:1$
$\Rightarrow\:y-x\leq1$
$\Rightarrow\:y-x\leq1+y-z$
$\Rightarrow\:-1\leq\:x-z$

assim;

$0\leq\:y-x\:\leq\:1,\:0\leq\:y-z\:\leq\:1\:\Leftrightarrow\:-1\leq\:x-z\leq\:1\:\Leftrightarrow\:|x-z|\leq\:1$

Então (x,z) $\in$ S isto é, $\Re$ o ${\Re}^{-1}\:\subseteq\:S$

Reciprocamente, seja (x;z) $\in$ S ,então
$|x-z|\leq\:1$ .

Tomando y = max{x;z} temos
(a partir deste ponto tenho uma dúvida, desta resolução o termo "tomando y=max{x,z}" tem qual implicação na solução? :?:

, significa que dos dois x e y devemos "pegar" o maior? :?:

, mas porquê? :?:

)
e continua:
$0\leq\:y-x\:\leq\:1\:e\:0\leq\:y-z\:\leq\:1$

daí, (x,y) $\subseteq\:\Re\:o\:{\Re}^{-1}$ , isto é, S $\:\subseteq\:\Re\:o\:{\Re}^{-1}$ .
Portanto,
$\Re\:o\:{\Re}^{-1}$ ={ $(x,z)\:\in\:{R}^{2}:\left|x-z \right|\:\leq1$ }

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