Sequência numérica

por **LuizAquino** » Qua Fev 23, 2011 22:15

Eis um exercício curioso onde podemos aplicar os conceitos de P.A..

Seja a sequência formada por cada número inteiro positivo n repetido n vezes, em ordem crescente. Isto é, seja a sequência {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ...}. Determine a soma entre os termos na posição 4.460 e 4.470 dessa sequência. (Resposta: 189).

por **Renato_RJ** » Sex Mar 11, 2011 07:57

Luiz, essa sequência é o mesmo que 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + ...

????

Se sim, então estou indo pelo caminho certo ? Pois desse jeito eu chego na PA mas não consigo chegar na soma, o valor que eu acho é muito maior do que o do gabarito.. Vou pensar um pouco mais...

por **LuizAquino** » Sex Mar 11, 2011 10:48

Renato_RJ escreveu:Luiz, essa sequência é o mesmo que $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + \ldots$ ?

Não. Perceba que o que você colocou aqui é uma soma, não uma sequência. Ainda que você escrevesse $\{ 1^2,\, 2^2,\, 3^2,\, 4^2,\, 5^2,\, \ldots\}$ não seria a mesma sequência.

Dica
A quantidade de vezes que cada número é repetido na sequência forma uma P.A.

por **Abelardo** » Sex Mar 11, 2011 13:03

Tentei também, mas deu um número estratosférico. Quero ver como é que se resolve, tinha uma questão parecida em uma prova da OBM.. era a soma também de números que ocupavam deternimadas posições, números gigantescos e a resposta era nove! (Se não me falhe a memória) kkk

por **Renato_RJ** » Sex Mar 11, 2011 15:07

LuizAquino escreveu:
Renato_RJ escreveu:Luiz, essa sequência é o mesmo que $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + \ldots$ ?

Não. Perceba que o que você colocou aqui é uma soma, não uma sequência. Ainda que você escrevesse $\{ 1^2,\, 2^2,\, 3^2,\, 4^2,\, 5^2,\, \ldots\}$ não seria a mesma sequência.

Dica
A quantidade de vezes que cada número é repetido na sequência forma uma P.A.

Então teremos uma PA desse jeito ?

P.A. = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

Pois o elemento 1 só parece uma vez (e é o primeiro elemento da PA), enquanto que o elemento 2 aparece duas vezes, o 3 aparece 3 vezes e assim sucessivamente.. Então o elemento 20, por exemplo, aparecerá 20 vezes ?

[ ]'s
Renato.

por **LuizAquino** » Sex Mar 11, 2011 15:10

Renato_RJ escreveu:Então teremos uma PA desse jeito ?
P.A. = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

Sim. A quantidade de vezes que cada número é repetido forma uma P.A. de primeiro termo 1 e razão também 1.

por **Renato_RJ** » Sex Mar 11, 2011 15:16

LuizAquino escreveu:
Renato_RJ escreveu:Então teremos uma PA desse jeito ?
P.A. = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

Sim. A quantidade de vezes que cada número é repetido forma uma P.A. de primeiro termo 1 e razão também 1.

Então estou caindo na pegadinha...

O elemento que está na posição 4460 é o próprio, por exemplo ??

por **LuizAquino** » Sex Mar 11, 2011 15:27

Renato_RJ escreveu:O elemento que está na posição 4460 é o próprio, por exemplo ??

Não. O numero que está na posição 4460 da sequência não é o número 4460.

Por exemplo, note que o primeiro número 5 aparece na posição 11 da sequência.

por **Renato_RJ** » Sáb Mar 12, 2011 03:06

Mestre acho que matei a charada, veja...

Chamei de n o número da sequência e acabei percebendo que quando temos n =1 teremos 1 termo, mas quando temos n = 2 teremos 3 termos, n = 3 teremos 6 termos e assim por diante (n = 4 serão 10 termos, n = 5 serão 15 termos, etc), logo quando n for igual a k teremos a soma de todos os termos até k então basta igualar a soma da PA ao termo desejado veja:

$\frac{k \cdot (k + 1)}{2} = 4460 \Rightarrow \, k^2 + k - 8920 = 0 \Rightarrow \, k = 94$

Fazendo o mesmo para o termo 4470:

$\frac{k \cdot (k + 1)}{2} = 4470 \Rightarrow \, k^2 + k - 8940 = 0 \Rightarrow \, k = 95$

Tive que arredondar os valores pois tinha me esquecido que se tratava de uma sequência de números inteiros, então a soma dos dois será 189.

Acertei ???

[ ]'s
Renato.

por **LuizAquino** » Sáb Mar 12, 2011 09:10

É isso mesmo.

Apenas para deixar claro, teremos que:

$k^2 + k - 8920 = 0 \Rightarrow \, k = \frac{-1 \pm \sqrt{35681}}{2} \Rightarrow \, k\approx -95 \textrm{ ou } k\approx 94$

$k^2 + k - 8940 = 0 \Rightarrow \, k = \frac{-1 \pm \sqrt{35761}}{2} \Rightarrow \, k\approx -95 \textrm{ ou } k\approx 94$

Devemos descartar os valores negativos.

Teremos que o número 94 aparecerá nas posições de 4372 até 4465. Já o número 95 aparecerá nas posições de 4466 até 4560.

por **Molina** » Sáb Mar 12, 2011 13:53

Bom dia, Luiz e Renato.

Quando estava tentando este desafio, pra começar li errada a questão. Li que deveríamos descobri a soma da posição 4.460 a 4.470 e não e como é o enunciado correto. Mas fiz por este caminho que é a solução e chegando ao mesmo valor quebrado que vocês chegaram, mas como se tratava de números interos, então achei que estava errado.

Mas bom ver a solução e ve que eu estava próximo de descobrir.

Valeu, :y: