[Corrijam] Todo Corpo é domínio de Integridade

por **juliomarcos** » Dom Set 14, 2008 00:46

Prove que todo corpo é domínio de integridade:

Definições do livro do Castrucci:
Um corpo é um anel com elemento unidade 1, onde todo elemento -{0}(elemento neutro da +) possui inverso.
Um domínio de integridade (ou anel de integridade) é um anel comutativo(vale a comutatividade na segunda operação(1) ) com elemento unidade e não possui divisores próprios do zero(2).

Todo corpo é domínio de integridade. Prova:
Seja C um corpo. Como vale o elemento inverso em C, a.a'=a'.a=1, logo também vale a comutatividade para a segunda operação. (1)
Suponha por absurdo que 0 tem inverso.
0.0'=1
0.0' + 0 = 1 + 0
0.(0' + 0) = 1
0 = 1
Absurdo, já que 0 é diferente de 1, logo 0.0' $\neq$ 1 ou 0.0' = 0, mas como 0' não existe em C, 0 não tem divisores próprios.(2)

Algum perito em teoria dos conjuntos pode corrigir isto pra mim? Grato.

por **admin** » Qua Set 17, 2008 04:04

Olá juliomarcos, boas-vindas!

Assumo uma modesta postura de aluno, tanto é que minha atual formação está longe de sanar dúvidas da graduação de um modo geral.

Ainda assim, acredito que sua suposição por absurdo deva ser outra.
Como queremos mostrar que os elementos do corpo não possuem divisores de zero, supomos por absurdo que eles possuem.

Eis uma demonstração de uma das minhas aulas em Álgebra II, também encontrada em alguns livros.
Adicionei alguns comentários:

Suponha por absurdo que existam $a \in C$ , $b \in C$ tais que
$a\cdot b = 0$ e $a \neq 0$ e $b \neq 0$

Note acima que esta suposição é equivalente a dizer que não é um domínio e ainda e são divisores de zero!

Como

é corpo e $a \neq 0$ , existe $a^{-1} \in C$ tal que
$a\cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot a = 1$

Então
$b = 1\cdot b = (a^{-1}\cdot a) \cdot b = a^{-1}(a \cdot b) = a^{-1} \cdot 0 = 0$

juliomarcos, veja um destaque sobre o absurdo: inicialmente havia a suposição de que $b \neq 0$ .
Como concluímos que , então não é divisor de zero!

E pela definição de domínio de integridade:
Seja $(A, +, \cdot)$ um anel comutativo com unidade.
Dizemos que A é um anel de integridade ou domínio de integridade ou simplesmente domínio se A satisfaz a seguinte condição:
$a \cdot b = 0 \Rightarrow a = 0$ ou

Ou seja, como , é um domínio, pois $a\cdot b = 0$ por hipótese!

Espero ter ajudado.
Bons estudos!

por **juliomarcos** » Qua Set 17, 2008 11:16

Obrigado pela resposta e pelas boas-vindas. Só mais uma coisa. Posso afirmar que todo anel com elemento unidade é um anel comutativo?
Gostaria de saber "qual" definição de Corpo você usou. Estou dizendo isso porque no livro "Curso de Álgebra vol1" de Ábramo Hefez, a comutatividade da segunda operação está definida pra qualquer anel, já no livro do Castrucci, um anel que goze da comutatividade na segunda operação é chamado anel comutativo. O resto da prova eu entendi. Muito obrigado.

por **admin** » Ter Set 23, 2008 17:22

Olá juliomarcos, boa-tarde!

juliomarcos escreveu:Posso afirmar que todo anel com elemento unidade é um anel comutativo?

Não. Um contra-exemplo é o anel $Mat_2(\Re), +, \cdot$ (o conjunto de todas as matrizes reais 2x2). Cuja unidade é:
$1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Este anel não é comutativo.

juliomarcos escreveu:Gostaria de saber "qual" definição de Corpo você usou.

Sobre a definição de corpo, citarei duas que usei, uma dada em aula, cuja bibliografia indicarei em seguida:

Definição: Um anel comutativo com unidade é chamado de corpo se todo elemento $a \in A$ , $a \neq 0$ , é inversível (isto é, existe $x \in A$ tal que ax=1

).
Notação:

é único e indicado por $x = a^{-1}$ .

Bibliografia do curso:

1. Herstein, I.N., "Topics in Algebra", 2nd Edition, John Wiley & Sons (tem tradução).
2. Dean, R.A., "Elements of Abstract Algebra", Wiley International Edition, John Wiley and Sons.
3. Gonçalves, A., "Introdução à Álgebra", IMPA.
4. Lang, S., "Algebraic Structures", Addison - Wesley Publishing Company (tem tradução).
5. Fraleigh, J.B., "A first course in abstract algebra", Addison Wesley.

Eu tenho o livro do Adilson, o 3º da lista, cuja definição é a seguinte:

Definição: Se um domínio de integridade $A, +, \cdot$ satisfaz a propriedade:
$\forall x \in A, x\neq 0, \exists y \in A$ tal que $x\cdot y = y \cdot x = 1$ ,
dizemos que $A, +, \cdot$ é um corpo.

Lembrando que antes há a seguinte definição para domínio de integridade:
Se $A, +, \cdot$ é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que $A, +, \cdot$ é um domínio de integridade.

Até mais!