Questão prova concurso (sen e cos)

por **fernandocez** » Qua Mar 02, 2011 11:26

Caro amigos do Forum, já olhei em dois livros e não achei nenhuma questão parecida que me dê uma luz. Parece simples mas não achei nenhuma relação entre eles. Fiz um desenho no plano, marquei os ângulos aproximados e mesmo assim não percebi a ligação. Aguardo uma ajuda dos amigos.

64. Sabendo que cos40º = 0,766, o valor de sen10º é:
resposta: 0,174

por **LuizAquino** » Qua Mar 02, 2011 12:12

Dica
Você vai precisar das identidades trigonométricas:
(i) $\cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1$
(ii) $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

por **fernandocez** » Sex Mar 04, 2011 00:59

Essa eu tô tentando tô chegando perto!

por **fernandocez** » Dom Mar 13, 2011 00:10

LuizAquino escreveu:Dica
Você vai precisar das identidades trigonométricas:
(i) $\cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1$
(ii) $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Oi Luiz, eu tentei mas não cheguei a nenhum lugar. Vamos lá.

cos (2.40) = 2 cos² (40) - 1 = cos (80) = 2(0,766)² - 1
cos 80 = 2.0,587 - 1 = cos 80 = 0,174

por **LuizAquino** » Dom Mar 13, 2011 01:19

Dica

Aplique a identidade (i) com x=20°. Com isso você irá calcular cos(20°).

Em seguida, aplique a mesma identidade para x=10°. Com isso você irá calcular cos(10°).

Por fim, use a identidade (ii) para calcular sen(10°).

por **Renato_RJ** » Dom Mar 13, 2011 01:22

Fernando e Luiz, eu fiz usando outra propriedade trigonométrica, o cosseno/seno do arco metade...

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$

$\sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}$

Veja, se eu tenho o cosseno de 40º e quero o seno de 10º, primeiramente vou achar a metade de 40 e depois a metade de 20, veja:

$\cos (20) = \sqrt{\frac{1 + 0,766}{2}} \Rightarrow \, \cos (20) = 0,939$

Agora, vou achar o seno de 10º:

$\sin (10) = \sqrt{\frac{1 - 0,939}{2}} \Rightarrow \, \sin (10) = 0,174$

[ ]'s
Renato.

por **LuizAquino** » Dom Mar 13, 2011 01:27

Renato_RJ escreveu:Fernando e Luiz, eu fiz usando outra propriedade trigonométrica, o cosseno/seno do arco metade...

Essa é outra opção igualmente válida.

por **Renato_RJ** » Dom Mar 13, 2011 01:31

Eu acabei achando essa relação em um livro que eu estava lendo hoje....

Mas se isso é questão de prova, essa prova deve ser bem chatinha, pois resolver essas raízes é bem enjoado....

Prof. Luiz, existe algum método para fatoração mais simples ou essas raízes tem que ser feitas no "velho método braçal" ?

por **LuizAquino** » Dom Mar 13, 2011 01:46

Renato_RJ escreveu:Prof. Luiz, existe algum método para fatoração mais simples ou essas raízes tem que ser feitas no "velho método braçal" ?

Existem algoritmos para o cálculo de raiz quadrada. Leia a respeito na Wikipédia:
Raiz quadrada
http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada

por **MarceloFantini** » Dom Mar 13, 2011 03:33

Eu prefiro o algoritmo da calculadora, pessoalmente. Sobre o exercício:

$\cos 80^{\arc} = \sin 10^{\arc} \Rightarrow \sin 10^{\arc} = 0,174$

Sua resolução estava certa. Existem vários jeitos de resolver a questão: o seu (calculando 80 e usando o fato que eu mostrei), fazendo duas divisões usando as contas que o Luiz Aquino sugeriu ou usando a fórmula decorada do Renato (que na verdade é uma equivalente à do Luiz, porém extraindo somente a raíz positiva ele elimina ângulos do 2° e 3° quadrantes; como o exercício já definia o primeiro isto não causava problemas, mas é bom lembrar).

por **Renato_RJ** » Dom Mar 13, 2011 03:41

Poxa Fantini, "fórmula decorada" doeu no coração.. kkkkkkkkkkkkkk...........

por **MarceloFantini** » Dom Mar 13, 2011 03:51

Foi mal, não era a intenção...hauhauhahua.

por **LuizAquino** » Dom Mar 13, 2011 11:23

Fantini escreveu:Sobre o exercício:

$\cos 80^\circ = \sin 10^\circ \Rightarrow \sin 10^\circ = 0,174$

Eis outra opção igualmente válida.

Observação
Apenas para alertar os incautos, esta solução usa a relação entre ângulos complementares: $\cos x = \sin (90^\circ - x)$ .