III-ESA-2006

por **heroncius** » Ter Set 18, 2007 21:50

uma empresa de transporte estabelece por viagem o preço individual da passagem (p) em função da quantidade (q) de passageiros através da relação p= -0,2 q + 100. com 0<q<500.nestas condições para q a quantia arrecadada pela empresa, em cada viagem, seja máxima, o preço da passagem deve ser , em reais de:
a)45 b)35 c)40 d)50 e)55

desde já agradeço a atenção!!!
Paulo Herôncio

por **admin** » Qua Set 19, 2007 14:46

heroncius escreveu:uma empresa de transporte estabelece por viagem o preço individual da passagem (p) em função da quantidade (q) de passageiros através da relação p= -0,2 q + 100. com 0<q<500.nestas condições para q a quantia arrecadada pela empresa, em cada viagem, seja máxima, o preço da passagem deve ser , em reais de:
a)45 b)35 c)40 d)50 e)55

desde já agradeço a atenção!!!
Paulo Herôncio

Olá Paulo.
Este é um problema de otimização.
Primeiro temos que destacar que a quantia arrecadada em cada viagem é o produto $p \cdot q$ , ou seja, o preço de cada passagem multiplicado pelo número de passageiros.

$p \cdot q$ : quantia arrecadada em cada viagem
Note que este é o valor que queremos maximizar em nossa otimização.

Como: p = -0,2q + 100

Vamos chamar esta função da arrecadação de

.
Como é uma função em

, temos:

: função arrecadação

A(q) = -0,2q^2 + 100q

Veja que

é uma função do segundo grau, formando uma parábola côncava para baixo porque o coeficiente de q^2

é negativo.
Esta informação garante que A(q)

possui um máximo.

Você já deve ter visto que o valor máximo de uma função do 2º grau:
f(x) = ax^2 + bx + c

É dado por:
$x = \frac{-b}{2a}$

De qualquer forma, tendo ou não visto, veja como é simples chegarmos à esta conclusão:
As raízes da função de 2º grau são:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ e $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$
(considerando $\Delta = b^2 - 4ac > 0$ )

O valor máximo de será dado quando x for a média aritmética entre as raízes

e (olhe um gráfico de parábola).
$Max[f(x)] \Leftrightarrow x = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$x = \frac{ \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}{2} = \frac{\frac{-b - b}{2a}}{2} = \frac{-2b}{4a} = \frac{-b}{2a}$
(repare que caso a parábola seja côncava para cima, a função possuirá valor mínimo e o cálculo será análogo)

Voltando para a função arrecadação:
A(q) = -0,2q^2 + 100q

Então, seu valor máximo será quando:
$q = \frac{-100}{2 \cdot (-0,2)} = \frac{-100}{-0,4} = \frac{100}{\frac{4}{10}} = \frac{100 \cdot 10}{4} = 25 \cdot 10 = 250$ (passageiros)

E por fim, respondendo à questão, precisamos saber qual o preço da passagem para esta quantidade de passageiros:
p = -0,2q + 100

$p = -0,2 \cdot 250 + 100 = -50 + 100$
p = 50

Reais (alternativa d)

Paulo, dois comentários:
1) repare que o intervalo citado no enunciado é justamente o intervalo entre as raízes da função arrecadação.
Esta condição da quantidade passageiros garante que a arrecadação fique sempre positiva!

2) Uma outra pergunta que poderia ser feita e facilmente respondida após esta resolução é a seguinte:
Qual então será a arrecadação máxima obtida pela empresa em cada viagem?

Como sabemos que:
$A(q) = p \cdot q$
Então:
$A(250) = 50 \cdot 250 = 12.500$ (Reais)

Espero ter ajudado.
Abraço!

por **heroncius** » Qua Set 19, 2007 21:59

olá Fábio...ajudou muito.
mais uma vez obrigado

abraço!!!

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