Questão prova concurso

[fernandocez]

Oi pessoal, mais uma que tentei, tentei e não consegui resolver.

57. A figura a seguir mostra um retângulo ABCD com AB = 2 e AD = 1. Os pontos P e Q dos lados BC e CD, respectivamente, são tais que BP = x e CQ = 2x, onde



O valor mínimo de área do triângulo APQ é:
resposta: 3/4

Eu fiz o seguinte somei as áreas do três triângulos, prá ver se conseguia descobrir o x.
A1: 1(2-2x)/2 = 1-x
A2: 2x(1-x)/2 = x-x²
A3: 2x/2 = x

A1+A2+A3 = x²+x+1
Tentei encontrar as raízes mas deu raízes "estranhas", eu acho que não é por ai. Aguardo.

[LuizAquino]

Sejam:
A = Área do retângulo ABCD = 2
A1 = Área do triângulo retângulo ABP = x
A2 = Área do triângulo retângulo PCQ = x(1-x)
A3 = Área do triângulo retângulo QDA = (1-x)
A4 = Área do triângulo APQ = y

Note que A4 = A - (A1+A2+A3). Agora, basta montar o problema que você cairá em uma função do 2º grau, onde y dependerá de x.

[fernandocez]

Luiz, montei a equação mas a não consigo chegar na raiz. Montei assim a equação:
A4 = A - (A1 + A2 + A3)
y = 2 - (x + x(1-x) + 1-x)
y = 2 - (x + x - x² + 1 - x)
y = 2 - x - x + x² - 1 + x
y = x² - x + 1
=1-4.1.1
=- 3
Deu delta menor que 0. Tem alguma coisa errada!

[Fabricio dalla]

n ue yv e -delta/4a ta certo!

[fernandocez]

n ue yv e -delta/4a ta certo!

Desculpe Fabricio, não entendi o que vc disse.

[Fabricio dalla]

n ue yv e -delta/4a ta certo!

Desculpe Fabricio, não entendi o que vc disse.

n,se falo q delta tinha dado errado por ser menor q zero,so q ta certo prq ele pergunta a area minima,logo delta=-3 entao substitui na formula de yv q acha a area minima ou maxima dentro da parabola yv=-(-3)/4
logo yv=3/4

[fernandocez]

n ue yv e -delta/4a ta certo!

Desculpe Fabricio, não entendi o que vc disse.

n,se falo q delta tinha dado errado por ser menor q zero,so q ta certo prq ele pergunta a area minima,logo delta=-3 entao substitui na formula de yv q acha a area minima ou maxima dentro da parabola yv=-(-3)/4
logo yv=3/4

Valeu Fabricio. É que eu não liquei a área com a situação do valor mínimo, Vértice de y = V(- delta/4a). Eu pensei que daria prá encontrar as raízes e calcular a área do triângulo APQ. Obrigado pela explicação.