inequação, dúvida.

por **jose henrique** » Seg Fev 21, 2011 21:31

estou tendo que resolver uma questão o que eu pergunto é que se estou certo que afirmo que isso não é possível.
$\frac{1}{x+1}<\frac{\left|x-1 \right|}{x-2} \Leftrightarrow x-2<\left|x-1 \right|(x+1)$
visto que ao meu ver não são equivalentes uma vez que a multiplicação em cruz só pode ser feita quando há uma igualdade, correto?

preciso de ajuda, obrigado!!

por **Renato_RJ** » Qua Fev 23, 2011 23:22

EDITADO :
Cometi um engano e o prof. Luiz me corrigiu, editei meu post para evitar erros futuros...

Muito obrigado Luiz :y:

por **LuizAquino** » Qui Fev 24, 2011 09:00

Não podemos "multiplicar em cruz" nas inequações da mesma forma que podemos nas equações.

Vejamos um exemplo.

Exercício: Determine a solução da inequação $\frac{x-1}{x-2} > \frac{5}{2}$ sendo x um número real.

Solução Errada
$\frac{x-1}{x-2} > \frac{5}{2}$

2x - 2 > 5x-10

$x < \frac{8}{3}$

Se essa é a solução correta, então para x=1 a inequação deveria ser válida, correto? E o que acontece se você substituir x por 1 na inequação? Surpresa! Você teria que 0 > 5/2!

Solução Correta
$\frac{x-1}{x-2} > \frac{5}{2}$

$\frac{x-1}{x-2} - \frac{5}{2} > 0$

$\frac{-3x+8}{2x-4} > 0$

Sabemos que a função f(x)=-3x+8 é positiva para x < 8/3 e negativa para x > 8/3. Por outro lado, a função g(x)=2x-4 é positiva para x>2 e negativa para x<2. Fazendo a análise dos sinais das funções, a solução da inequação é 2<x<8/3.

E agora, você deve estar se perguntando: por que será que não posso "multiplicar em cruz" nas inequações?

A resposta está na seguinte propriedade de inequações:
Se a>b, então:
(i) ac > bc, se c > 0
(ii) ac < bc, se c < 0

No exercício acima, quando nós fizemos (de maneira errada) $\frac{x-1}{x-2} > \frac{5}{2} \Rightarrow 2(x - 1) > 5(x-2)$ , podemos enxergar que realizamos duas operações:
(a) Multiplicamos toda a inequação por 2, que como é um número positivo não altera a inequação (propriedade (i)).
Isto é, nós fizemos: $2\cdot \frac{x-1}{x-2} > 2 \cdot \frac{5}{2} \Rightarrow \frac{2(x - 1)}{x-2} > 5$

(b) Em seguida, multiplicamos toda a inequação por (x-2). Aqui é que mora o problema! O número (x-2) pode ser negativo ou pode ser positivo!
Quando (x-2) for positivo (portanto x>2), a inequação não se altera e teríamos que $(x-2)\cdot \frac{2(x - 1)}{x-2} > 5\cdot (x-2) \Rightarrow 2(x - 1) > 5(x - 2) \Rightarrow x < \frac{8}{3}$ (Propriedade (i))

Mas, quando (x-2) for negativo (portanto x<2), o correto seria ficarmos com $(x-2)\cdot \frac{2(x - 1)}{x-2} < 5\cdot (x-2) \Rightarrow 2(x - 1) < 5(x - 2) \Rightarrow x > \frac{8}{3}$ (Propriedade (ii))

Note que essa última solução não faz sentido, já que com x<2 nós obtemos que a inequação é tal que $x > \frac{8}{3}$ .

Já a primeira solução está correta: para x>2 vai ocorrer que a inequação é tal que $x < \frac{8}{3}$ . Portanto o número x procurado é tal que $2< x < \frac{8}{3}$ .

por **Renato_RJ** » Qui Fev 24, 2011 12:29

Grande Luiz, que escorregada que eu dei hein ?! Que vergonha para mim.. Nem vou usar a madruga como desculpa.. rss...

Tinha me esquecido da grande dicotomia "f(x) < g(x)", mil perdões a todos que leram a "asneira" que escrevi....

Mais uma vez, muito obrigado...

por **jose henrique** » Qui Fev 24, 2011 16:44

Por favor, tiram mais essa dúvida. Eu li aqui que existe uma propriedade chamada de relação de ordem que diz que Se a/b< c/d então axd < axb. A minha pergunta é a seguinte porque eu não posso aplicar esta propriedade nesta questão?

por **LuizAquino** » Qui Fev 24, 2011 18:59

jose henrique escreveu:Se $\frac{a}{b}< \frac{c}{d}$ , então $a\cdot d < b\cdot c$ . A minha pergunta é a seguinte porque eu não posso aplicar esta propriedade nesta questão?

Se você prestar um pouco mais de atenção no que expliquei acima, você entenderia o porque.

Vou lhe dar outro exemplo:
Você concorda que $\frac{4}{(-7)} < \frac{5}{3}$ ?

Agora, aplique a propriedade do jeito que você disse: $4\cdot 3 < 5\cdot (-7)$ . Mas, isso é falso!

Percebeu o problema? A propriedade que você citou funciona apenas se b e d são positivos (e não nulos).