Derivadas parciais

por **john** » Ter Fev 15, 2011 15:37

Agora que já estou mais à vontade com as derivadas e com as integrias, parti para as derivadas parciais.

g(x,y)=2x-y^2

Mostre que:

$\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$

Se alguém perceber disto, que me dê uma ajuda. Já não me recordo desta matéria. Estou assistindo uns vídeos no Youtube que me estão a ajudar, mas este exercício não consegui resolver.

Cumprimentos!

por **LuizAquino** » Ter Fev 15, 2011 16:18

Seja a função real $g(x,\,y) = 2x - y^2$ .

$\frac{\partial g}{\partial x}$ : Essa notação significa que você deve derivar a função uma vez em relação a x, considerando que y é uma constante. Lembre-se que a derivada de uma constante é 0. Sendo assim, nós teremos:
$\frac{\partial g}{\partial x} = 2$

$\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ : Essa notação significa que você deve derivar a função duas vezes em relação a y, considerando que x é uma constante.

$\frac{\partial g}{\partial y} = -2y$

$\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = -2$

Portanto, vemos que $\frac{\partial g}{\partial x} \neq \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ .

por **john** » Ter Fev 15, 2011 16:30

Eu esqueci-me de pôr o sinal "-" antes de [/tex]\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}[/tex]

O enunciado seria assim:

$\frac{\partial g}{\partial x}=-\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$
Logo seria verdadeiro certo?

por **LuizAquino** » Ter Fev 15, 2011 16:40

john escreveu:Eu esqueci-me de pôr o sinal "-" antes de $\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$
O enunciado seria assim:

$\frac{\partial g}{\partial x}=-\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$

Logo seria verdadeiro certo?

Sim.

por **john** » Qua Fev 16, 2011 14:39

Ok. Obrigado!

por **john** » Sáb Fev 19, 2011 14:29

Neste exercício fiz a derivada pela regra do produto. Mas não me está dando igual. Dá-me 9 uma e 6 outra.
Alguém pode confirmar?

Obrigado.

por **LuizAquino** » Sáb Fev 19, 2011 14:38

Exercício: Seja $h(x,\, y) = 3(x^2 - y)$ . Verifique que $\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = -2\frac{\partial h}{\partial y}$ .

Derivando em relação a x:
$\frac{\partial h}{\partial x} = 6x \Rightarrow \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = 6$

Derivando em relação a y:
$\frac{\partial h}{\partial y} = -3$

Portanto é válido que $\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = -2\frac{\partial h}{\partial y}$ .

Observação
Se estiver com dificuldades em entender as derivadas parciais acima, então procure enxergar a função como $h(x,\, y) = 3x^2 -3y$ .