Exercicio MMC ajuda por favor !

por **jeovani** » Seg Fev 14, 2011 21:54

olá nao estou conseguindo resolver esse exercicio, alguem do forum poderia me ajudar a chegar no resultado dessa questão ?

O MMC de 2 números naturais A e B é 1260.

Quando dividimos esse MMC por A e B o produto dos quocientes será igual a 90.

Ache A e B que satisfaçam está condição

A unica dica q tenho é essa abaixo

1260/a . 1260/b = 90

tentei fazer 1260.1260/90 = ab dando 17640 = ab fatorando da 2³.3².5.7² mais nao cheguei em nenhum resultado para achar a e b, alguem pode me ajudar aonde estou errando ?

Já tentei de tudo, quebrei a cabeça, não consegui resolver :/ alguem pode me ajudar por favor?

por **Molina** » Seg Fev 14, 2011 22:33

Boa noite, Jeovani.

Temos duas informações do enunciado:

mmc(A,B)=1260

e

$\frac{1260}{A}*\frac{1260}{B}=90$

$\frac{1587600}{AB}=90$

AB=17640

$A=\frac{17640}{B}$

Logo, o que queremos descobrir é:

$mmc \left(\frac{17640}{B},B \right)$

Milagrosamente, sendo B=1260

a conta fecha, veja:

$mmc \left(\frac{17640}{B},B \right)=mmc \left(\frac{17640}{1260},1260 \right)=mmc \left(14,1260 \right)=1260$

Logo, A=14

e

.

Perceba que $\frac{1260}{A}*\frac{1260}{B}=90$ também é satisfeito.

:y:

por **jeovani** » Seg Fev 14, 2011 23:37

entendii obrigado (y)

:y:

por **jeovani** » Ter Fev 15, 2011 19:59

nao entendi como chegou na resposta a = 14

por **Renks** » Ter Fev 15, 2011 22:54

acho que posso lhe ajudar

SE , AB = 17640 e B = 1260

basta subtituir B na primeira equaçao ficando assim A . 1260 = 17640 entao A = $\frac{17640}{1260}$ = 14

por **jeovani** » Qui Fev 17, 2011 20:36

o unico porem é que o "milagrosamente" nao pode entrar no meu calculo preciso de um raciocinio logico de por que estou usando o 1260. esse é o porém da questão, se alguem me da uma luz ae eu agradeço muito.

por **LuizAquino** » Qui Fev 17, 2011 23:20

Temos que:
$\textrm{mmc}(A,\, B) = 1260 = 2^2\cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$

Além disso, temos que:
$\frac{1260^2}{AB} = 90 \Rightarrow AB = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2$

Sabemos que por definição o mmc entre dois números é o produto entre os fatores primos em comum (e com maior potência) e os que não estão em comum.

Analisando o mmc de A e B, podemos dizer que uma possível alternativa para A e B seria:
$A = 2^k\cdot 3^l \cdot 5^m \cdot 7^n$

$B = 2^p\cdot 3^q \cdot 5^r \cdot 7^s$

Por outro lado, analisando o produto entre A e B, temos que deve ocorrer:
k+p=3
l+q=2
m+r=1
n+s=2

Portanto, uma possibilidade para A e B seria:
$A = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^1 = 252$

$B = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 70$

Uma outra possibilidade para A e B seria:
$A = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 1260$

$B = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^1 = 14$

Mais outra possibilidade para A e B seria:
$A = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 630$

$B = 2^2 \cdot 3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^1 = 28$

E ainda podemos achar outros pares A e B!