questão da ESA-2006

por **heroncius** » Dom Set 09, 2007 16:37

o número natural "X" decomposto em fatores primos se escreve na forma 2^3 x 3^m x 5. sabendo q "X" tem 32 divisores naturais, podemos afirmar q o n° de algarismos de sua represntação decimal é: a)3 b)5 c)7 d)4 e)6

com base nestas informações cheguei ao vlr de m=3, lgo o valor de x=1080...daí morri na praia.

por **admin** » Dom Set 09, 2007 21:28

heroncius escreveu:o número natural "X" decomposto em fatores primos se escreve na forma 2^3 x 3^m x 5. sabendo q "X" tem 32 divisores naturais, podemos afirmar q o n° de algarismos de sua represntação decimal é: a)3 b)5 c)7 d)4 e)6

com base nestas informações cheguei ao vlr de m=3, lgo o valor de x=1080...daí morri na praia.

Olá heroncius!

Você concluiu que m=3

e

, o que praticamente já resolveu o problema, porque a representação decimal de 1080 possui 4 algarismos (alternativa d).

Mas, de qualquer forma, acho importante comentar sobre divisores naturais, assim como o percurso da conclusão.

De uma forma geral, se

é um número natural, decomposto em fatores primos, ele poderá ser escrito assim:
$y = {p}_{1}^a \cdot {p}_{2}^b \ \dots \ {p}_{k}^z$ , onde ${p}_{1}, {p}_{2}, \ \dots \ , {p}_{k}$ são números primos.

Um divisor natural de

será, necessariamente, da forma:
${p}_{1}^a\textquoteright \cdot {p}_{2}^b\textquoteright \ \dots \ {p}_{k}^z\textquoteright$

Sendo:
$a\textquoteright \in \{0, 1, \ \dots\ , a\}$

$b\textquoteright \in \{0, 1, \ \dots\ , b\}$
$\vdots$
$z\textquoteright \in \{0, 1, \ \dots\ , z\}$

A conclusão é que temos a+1

formas de escolher $a\textquoteright$ ,
b+1

formas de escolher $b\textquoteright$
e c+1

formas de escolher $c\textquoteright$ .

E por combinatória, o número de divisores naturais será:
$(a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1)$

Considerando o caso particular do exercício, temos que:
$x=2^3 \cdot 3^m \cdot 5^1$

Ou seja, qualquer divisor natural de

será da forma:
$2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$

Onde,
$a \in \{0, 1, 2, 3\}$
$b \in \{0, 1, \ \dots \ , m\}$
$c \in \{0, 1\}$

Donde podemos afirmar que temos 4 modos de escolher a, (m+1)

modos de escolher

e 2 modos de escolher

.

Por combinatória, podemos fazer a conta (lembrando que há 32 divisores naturais):
$4 \cdot (m+1) \cdot 2 = 32$

8m + 8 = 32

(apenas para detalhar de onde obtemos m = 3

)

Como:
$x=2^3 \cdot 3^m \cdot 5^1$

$x=2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^1$

x=1080

, de fato.
Com representação decimal de 4 algarismos.

por **heroncius** » Dom Set 09, 2007 21:45

+ uma vez agradeço pela explicação Fábio, muito esclarecedora, mas sem querer abusar se por acaso fosse outro vlr como por exemplo: 12508-)seriam 5 algarismos decimais?
501250 " 6 algarismos decimais?

a quantidade eh o q responde a quentão então?

obrigado pela atenção,

abraço!!!

por **admin** » Dom Set 09, 2007 22:11

Olá heroncius!

Neste caso, o problema mesmo é encontrar m e x.

Sobre a sua pergunta, cuidado apenas com a nomenclatura:
Número de algarismos decimais pode confundir com número de algarismos da representacao decimal.

A representação decimal equivale à soma de potências de 10.
Vou exemplificar a partir dos números que você citou:

$12508 = 8 \cdot 10^0 + 0\cdot10^1 + 5\cdot10^2 + 2\cdot10^3 + 1\cdot10^4$
(a representação decimal tem 5 algarismos)

$501250 = 0\cdot10^0 + 5\cdot10^1 + 2\cdot10^2 + 1\cdot10^3 + 0\cdot10^4 + 5\cdot10^5$
(a representação decimal tem 6 algarismos)

Repare que os algarismos da representação decimal são os fatores das potências de 10.

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