Nucleo e imagem

[baianinha]

Gostaria de saber como se calcula o nucleo e a imagem de uma transformação Linear?

Alguém poderia mim ajudar?

Assim...tenho a lei que é o primeiro passo...Mas e ai, faço o q depois disso?

Exemplo, q peguei nesse forum mesmo...lei é ( x-y;5x-8y;-5x +10y)
sei q agora monto um sistema e daí??? vou para onde?? alguém poderia mim ajudar e a imagem fica como?

[LuizAquino]

Olá Baianinha,

Vejamos um exemplo. Vamos considerar a transformação linear definida por .

O núcleo (ou kernel) dessa transformação linear é definido como:

Portanto, precisamos resolver a equação:





De onde obtemos o sistema:


A única solução desse sistema é x=0 e y=0. Portanto o núcleo dessa transformação tem apenas um elemento, que é o (0, 0). Ou seja, diremos que:



A imagem dessa transformação linear é definido como:


Para determinar a imagem podemos determinar uma base para a mesma.

Nesse exemplo, todos os elementos da imagem tem o formato (x-y, 5x-8y, -5x +10y). Note que qualquer elemento dessa imagem pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1, 5, -5) e (-1, -8, 10):
(x-y, 5x-8y, -5x +10y) = x(1, 5, -5) + y(-1, -8, 10).

Portanto, o conjunto {(1, 5, -5), (-1, -8, 10)} gera a imagem. Se esse conjunto for L.I., então ele formará uma base para a imagem.

De fato, ele é L.I., pois a equação
k(1, 5, -5) + m(-1, -8, 10) = 0,
só possui uma única solução que é k=m=0.

Sendo assim, temos que: