Urgente: Derivadas

por **ARCS** » Ter Jan 18, 2011 18:22

Estou com dificuldade na resolução dessa derivada.

Dada $f (x) =\sqrt[3]{\frac{x}{x^3+1}}$

Calcule a f´(x)

Incialmente eu transformei a fração em produto porque é bem mais prático usar a regra do produto ao invés da do quociente.

Logo, $f (x) =\sqrt[3]{\frac{x}{x^3+1}} = {x}^{1/3}{(x^3+1)}^{-1/3}$

Combinado a regra do produto com a regra da cadeia, obtemos:

Aplicando a regra do produto, temos:

$f'(x) = {x}^{1/3}{D}_{x}\left{(x^3+1)}^{-1/3} + {D}_{x}({x}^{1/3}) {(x^3-1)}^{-1/3}$

Aplicando a regra da cadeia, temos:

$f'(x) = {x}^{1/3}[\frac{-1}{3}{(x^3+1)}^{-4/3}(3x^2)] + [ \frac{1}{3}{x}^{-2/3}]{(x^3+1)}^{-1/3}$

Meu professor disse que até aí esta correto, basta agora colocar algum termo em evidência para obter

$\frac{1-2x^3}{{3x}^{2/3}{(x^3+1)}^{4/3}}$

Mas não estou conseguindo.

Favor explicar detalhadamente

por **Renato_RJ** » Ter Jan 18, 2011 20:11

Eu fiz uma abordagem diferente da tua, veja:

$f(x) = \sqrt[3]{\frac{x}{x^3+1}}$

Fazendo $\frac{x}{x^3+1} = u$ temos:

$\frac{d u^{2/3}}{du} \Rightarrow \, \frac{1}{3 \cdot \sqrt [3] {u^2}} \cdot u`$

Fazendo a derivada de u, teremos:

$\frac {d (\frac{x}{x^3+1})}{dx}$

Agora usarei a regra do quociente chamando de u = x

e

teremos:

$\frac{ v \cdot \frac{du}{dx} - u \cdot \frac{dv}{dx}}{v^2}$

Logo:

$\frac{ \frac{x^3+1 - 3\cdot x^3}{(x^3+1)^2}}{3 \cdot (\frac{x}{(x^3+1)})^{2/3}}$

Com uma básica manipulação teremos:

$\frac{1 - 2\cdot x^3}{3 \cdot (\frac{x}{x^3+1})^{2/3} \cdot (x^3+1)^2}$

Resolvendo o denominador, teremos:

$3 \cdot x^{2/3} \cdot \frac{(x^3+1)^2}{(x^3+1)^{2/3}} \Rightarrow \, 3\cdot x^{2/3} \cdot (x^3+1)^{4/3}$

O que nos leva a resposta:

$\frac{1 - 2\cdot x^3}{3 \cdot x^{2/3} \cdot (x^3+1)^{4/3}}$

Eu acho que está certo, mas como sou humano, posso ter errado em algum lugar, se alguém puder confirmar essas contas ficarei imensamente grato.

Abraços,
Renato