Triângulos Pitagóricos

por **ronie_mota** » Qua Jul 23, 2008 19:39

;/;Olá outra vez!
Uma vez um professor meu passou o desafio de descobrir um jeito de escrever uma função que defina um triângulo pitagórico. Desde então eu venho tentando "criar" (não sei se já inventaram, mas devem ter feito isso) essa "fórmula". Pois é. Eu consegui! Mas não sei se está certo.
Um triângulo cujos catetos não iguais em tamanho, pois se trata de um triângulo pitagórico. As suas dimensões são valores naturais pelo mesmo motivo.
Cateto 1 ->

Cateto 2 -> x+n

Hipotenusa - > x+m

Onde

é diferente de

, $x,m,n \in {N}^{*}$ e $m \neq n$
Então apliquei o teorema de pitágoras:
(x+m)^2=(x+n)^2+x^2

´

-> daí eu tratei como uma equação do 2º grau de variável

.
.
. (está com problema)
resolvendo tudo eu achei
$x=m-n \pm \sqrt{2m.(m-n)}$
Depois disso eu fui experimentando valores de m e de n para ver os resultados e consegui descobrir: se m-n=1

, então o triângulo concerteza será pitagórico porque essa diferença representa um "múltiplo do triângulo original". Ex.:
Triângulo retângulo: catetos: 6 e 8, hipotenusa 10 é "múltiplo" (semelhante) pois, é o mesmo que multiplicar por 2 os valores do triângulo pitagórico: catetos: 3 e 4, hipotenusa 5. Nesse caso m-n=2

E fica dependendo somente do valor m. Então fica assim:
$x=1 \pm \sqrt{2m}$
Mas a raiz precisa ter um resultado natural daí

só pode admitir esses valores-> {2,8,18,32,...}

. Se m adquirir estes valores teremos um triângulo pitagórico.
Porém a equação admite dois resultados: um positivo e outro negativo (pois m>0

), então a equação fica desse jeito.
$x=1+\sqrt{2m}$ . Agradeço a sua paciência por ter lido até aqui. E queria que você comentasse. Obrigado.

por **admin** » Qui Jul 24, 2008 21:06

Olá, boa tarde.

O assunto não é tão simples quanto parece.
Pela desigualdade triangular, também vale destacar que m>n

.

Os registros históricos mais antigos já citam uma tábula conhecida como Plimpton 322, escrita no período Babilônico Antigo, aproximadamente entre 1900 e 1600 a.C., onde apareciam vários ternos pitagóricos, sugerindo já o conhecimento de alguma teoria relacionada a estes números.

Quando o único fator inteiro positivo comum aos elementos do terno pitagórico é a unidade, temos um terno primitivo. Por exemplo, os múltiplos do "triângulo original" que você citou, não são primitivos.

Um problema cuja solução é atribuída aos matemáticos gregos, muitos séculos após a tábula Plimpton 322, foi mostrar que todos os ternos pitagóricos primitivos (a,b,c)

são dados parametricamente por:

a = m^2 - n^2

se e somente se

e

são primos entre si.

Assim, para m=2

e

, obtemos o terno primitivo a=3

,

e

.

Como você perceberá, há vários modos de se pensar sobre o assunto, há muitas relações com outros temas da matemática é e necessário um amplo conhecimento em teoria dos números para lidar com estes diversos aspectos. Meus comentários não almejam aprofundamento, mas de forma humilde, apenas sugiro que é pretensão pensar em criação de algo inédito sobre o assunto neste momento.

Eis um resumo interessante sobre a teoria: http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple

Pesquise também sobre algo interessante relacionado, o último teorema de Fermat.

Bons estudos!

por **ronie_mota** » Dom Jul 26, 2009 16:56

Obrigado por responder.
Mais uma coisa. Com o tempo descobri algo interessante sobre isso.

Seja um triângulo retângulo cujos catetos medem a_n

,

e a hipotenusa c_n

.
Onde

,

e

são os n-ésimos termos de progressões diferentes definidas por:

a_n=2n+1

ou então

onde $n \in N*$
Assim se queremos o "1º triângulo pitagórico", é só fazer n=1

"2º triângulo"

a_2=2*2+1=5

"3triângulo"

a_3=2*3+1=7

E todas respostas não contrariam o Teorema de Pitágoras
Não sei se existem essas expressões para os Triângulos Pitagóricos. Talvez posso ter descoberto algo (VIVA!) (risadas). Não são citações! Descobri com muito trabalho!
Bom. Obrigado novamente.

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