Combinatoria

por **DanielRJ** » Sáb Out 30, 2010 20:49

cinco rapazes e cinco moças devem posar para fotografia ocupando cinco degraus de modo que em cada degrau fique um rapaz e uma moças.
De quantas maneiras diferentes podemos arruar este grupo?

a)70400
b)1280
c)460800
d)332000
e)625

Bom fiz varias e varias tentativas e a primeira delas foi tentar utilizar a Permutação.

R e M / R e M / R e M / R e M / R e M

pemutei os cincos grupos, os rapazes e as moças, mas nao deu em nada.
Então gostaria de dicas ai valeu pessoal!

por **Neperiano** » Sáb Out 30, 2010 21:24

Ola

Tentei fazer assim

São 5 lugares então 5 numeros

Emcima podem ser 10 pessoas
Depois 8
6
4
2

Porque sempre 2 vao ficando, entretanto a resposta tambem não fecha, talvez a questão esteja certa, de qualquer forma vou tentar de outra maneira

Atenciosamente

por **0 kelvin** » Dom Out 31, 2010 17:50

Achei o problema interessante (IME 1971?) e vi duas respostas possíveis no google:

Tem dois raciocínios possíveis que chegam na resposta, coincidentemente é a alternativa com o maior número tambem:

Método 1: pegue um lugar e um grupo de 5 pessoas, de quantas maneiras podemos preencher um lugar tendo 5 escolhas possíveis? 5. Mas são dois lugares por degrau e dois grupos de 5 escolhas, então 5 * 5. E ainda duas formas de preencher os dois lugares, AB ou BA, então 5 * 5 * 2. Repita para mais um degrau, mas reduza o grupo de pessoas disponíveis para a escolha, pois uma escolha já foi feita, fica 4 * 4 * 2. No quinto degrau restará uma moça e um rapaz, 1 * 1 * 2. A expressão completa fica (5 * 5 * 2) . (4 * 4 * 2) . (3 * 2 * 2) . (2 * 2 * 2) . (1 * 1 * 2)

(5 * 5 * 2) . (4 * 4 * 2) . (3 * 2 * 2) . (2 * 2 * 2) . (1 * 1 * 2)

. Que pode ser escrita tambem como (5^2) . (4^2) . (3^2) . (2^2) . (1^2) . (2^5)

.

Método 2: imagine 5 cadeiras e 5 pessoas, de quantas maneiras podemos preencher as 5 cadeiras com 5 pessoas? Fatorial de 5. Agora dobre o problema, um grupo de 5 pessoas para uma fileira e outro grupo de 5 pessoas para outra fileira. Individualmente são dois 5!. O problema agora é visualizar duas fileiras de 5 cadeiras cada emparelhadas. Uma analogia que pode ser feita é assim, imagina cinco interruptores lado a lado, cada interruptor pode estar ligado ou desligado, assim como cada casal pode ser AB ou BA. Quantas combinações de ligado/desligado podem ser feitas com 5 interruptores lado a lado? Dá um total de 32. No final fica 5! * 5! * 32.

Fundamentalmente os dois métodos são iguais, mas o primeiro é mais manual e o segundo "agrupa" o problema em blocos.

É parecido com uma questão da Fuvest 2008. A diferença é que na questão da fuvest puseram duas condicionais pra complicar um pouco mais :-P

(mas repara que o enunciado já facilita um pouco ao ordenar os casos já do mais específico para o menos específico, se vc tentar resolver numa ordem diferente da que já foi dada, se enrola todo)

por **DanielRJ** » Dom Out 31, 2010 20:59

Bom questãozinha muito chata. eu entendimento foi esse.

1° em cada degrau eu posso P_2=2

que me dará 2^5

.

2° posso permutar os 5 Rapazes nos degraus.
que me dará P_5=5!

3° posso permutar as 5 Moças nos degraus.
que me dará P_5=5!

4° e por fim perutar as pessoas dentro dos degraus.
que me dará P_5=5!

então eu terei:

2^5.5!.5!.5!

e obtive isto.

por **0 kelvin** » Seg Nov 01, 2010 13:02

1 - permutações de 5 raprazes e de 5 moças, 5! . 5!. Essa parte esta correta.

2 - em cada degrau duas pessoas, como são cinco degraus, 2^5

tambem esta correto.

3 - Mas as permutações de pessoas dentro dos degraus não fez sentido.

(escrevi uma besteira sobre permutações na vertical e horizontal)

O terceiro 5! parece q vc se confundiu com permutações de degraus ou de casais. Mas aí é repetição a mais. Veja:

[_] x [_]
[_] x [_]
[_] x [_]
[_] x [_]
[_] x [_]

5! de um lado representa as permutações entre uma fileira de rapazes, o mesmo do outro lado para as moças. É aquele esquema q vc liga um elemento de um grupo a cada um do outro grupo e repete para todos os elementos, formando aquela visualização com um monte de linhas cruzadas.

Chamando os rapazes de ABCDE e as moças de 12345.

[A] x [1]
[B] x [2]
[C] x [3]
[D] x [4]
[E] x [5]

Vc pode inverter: A1 ou 1A. O terceiro fatorial de 5 parece q vc pensou em trocar a ordem dos casais de cima para baixo ou de baixo para cima. É um pouco difícil, mas explicaria assim: se vc pode começar a preencher os degraus começando por qualquer um, alem de escolher os rapazes e as moças em qualquer ordem que seja, então não há necessidade de calcular mais uma multiplicação, a permutação dos casais formados. O 2^5