Física- Projétil/Conservação

por **Russman** » Ter Nov 20, 2012 22:47

Pessoal, não consigo ver o que falta considerar pra terminar a seguinte questão:

Um projétil é disparado a um ângulo de 45° com energia cinética inicial E. No topo da trajetória, o projétil o projétil explode com energia adicional E em dois fragmentos. Um fragmento de massa m1 viaja diretamente para baixo. Qual é a velocidade (módulo e direção) do segundo fragmento de massa m2 e velocidade do primeiro fragmento? Qual é a maior razão possível m1/m2?

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Visto que a componente horizontal do momento linear se conserva, temos:

$\overrightarrow{p_x}(t=0) = \overrightarrow{p_x}(t_{topo})$
$v_o(m_1+m_2)\frac{\sqrt{2}}{2} = m_1v_{1x}+m_2v_{2x}$

como $v_{1x} = 0$ , então $v_{2x}=(\lambda +1)v_o\frac{\sqrt{2}}{2}$ onde $\lambda =\frac{m_1}{m_2}$ .

Agora eu não consigo entender o que significa a energia adicional pra aplicar a conservação de energia. ;x

Alguém ajuda?

Obrigado.

por **MarceloFantini** » Qua Nov 21, 2012 01:25

Vamos ver o que conseguimos, parece um pouco complicada.

Pela conservação de energia temos que E_f = K_f + U_f + E= K_i + U_i = E_i

, onde

representa a cinética e

representa a potencial. No lançamento, adotando o plano de lançamento como referência, temos que U_i = 0

e

.

Na explosão as duas massas tem a mesma energia potencial pois estão à mesma altura, logo U_f = (m_1 + m_2) g h

. Como a altura máxima é dada por $h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ segue que $U_f = \frac{(m_1 + m_2) (v_0^2)}{4}$ , pois $\sin^2 \alpha = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$ , que multiplicou o 2 no denominador.

A energia cinética final torna-se $K_f = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$ , logo concluímos que K_f + U_f + E= K_i + U_i

vira

$\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 + \frac{(m_1 + m_2) (v_0^2)}{4} + E = E$ .

Como a energia cinética inicial é igual a

podemos escrever $E = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_0^2$ , assim $v_0^2 = \frac{2E}{m_1 + m_2}$ . Substituindo na expressão acima, chegamos que

$\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 + \frac{E}{2} = 0$ ou m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 + E = 0

.

Pelo enunciado a velocidade horizontal do projétil 1 é nula, logo $v_1 = v_{1y}$ .

Estou um pouco cansado e tentei avançar mais que isso aqui, só que está difícil. Primeiramente pareceu que o ângulo de v_2

era o mesmo do lançamento, porém com norma maior por causa da energia adicional. Neste caso é como se $|v_2| = (\lambda +1) v_0$ como definiu, mas se você abrir as contas com a expressão que deduzi encontrará $v_1^2 = \frac{-E(m_1 + 2m_2)}{m_1 m_2}$ .

Por enquanto é só o que consegui, vou tentar fazer mais alguma coisa amanhã. Espero que já ajude.

por **Russman** » Qua Nov 21, 2012 08:11

Pois é, Marcelo. Pensei da mesma forma que você. Mas a expressão

$\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2+\frac{E}{2} = 0$

não pode ser verdade, pois todas as parcelas são positivas. ;x

O

é a energia cinética inicial do projétil, que é positiva sempre.

por **Russman** » Qua Nov 21, 2012 08:17

Eu pensei em fazer uma relação entre a energia mecânica antes e depois da explosão.

$E_{antes} +E = E_{depois}$

Eu penso em colocar o

junto com a energia anterior pq é devido a ela que se tem a explosão.
Então:

$\frac{1}{2}(m1+m2)(v_0.cos(45))^2 +(m_1+m_2)gh +E = m_1gh+m_2gh+\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2$

e agora eu tenho que desenvolver...

por **MarceloFantini** » Qua Nov 21, 2012 11:02

Você tem razão, a expressão é inválida. Mas estou discordando da sua expressão também. A energia cinética inicial leva em conta o módulo total, não apenas o módulo na horizontal. Além disso, tomando o chão como referência a energia potencial anula-se.

A menos que o instante que você considerando é exatamente antes da explosão, caso em que as energias potenciais final e inicial serão iguais, correto? Afinal de contas, antes que as partículas espalhem-se elas estão à mesma altura.

Isto é uma questão de física 1?

por **Russman** » Qua Nov 21, 2012 14:35

É verdade. Eu estou considerando energias que não existem no topo.

Eu estou considerando as energias antes e depois da explosão.

É uma questão de Mecânica Clássica.

por **Neperiano** » Qua Nov 21, 2012 16:50

Olá

Senhores, neste caso vocês podem considerar explosão como uma colisao, por tanto trata-se de uma questão de colisão e conservação de energia.

Você provavelmente terá que usar a conservação do momento linear: pi = pf, e a conservação da energia mecância: Emi = Emf, como não há evidências de atrito.

Entretanto está inclinado, portanto terá que usar um pouco de álgebra tambem, minha sugestão é tu montar o problema desenhando ele, e ai tu vai tem que inclinar ele para x e para y se for necessário.

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