[Dúvida]Um desafio que envolve probabilidade

por **Gabi Biel** » Qui Out 17, 2013 20:37

Primeiro de tudo, não sei se esse é o local certo para postar, peço desculpas se não for. Mas é uma dúvida que tnho, sobre um desafio que envolva probabilidade, então achei que aqui seria o local correto.

Eu e um conhecido estamos discutindo sobre a solução de um problema de matemática.
Que pode ser encontrado aqui, na questão 16, junto com um link para a resolução.
http://mathproblems.info/group1.html

A questão é a seguinte:
A box contains two coins. One coin is heads on both sides and the other is heads on one side and tails on the other. One coin is selected from the box at random and the face of one side is observed. If the face is heads what is the probability that the other side is heads?.

Uma tradução próxima seria essa:
Dentro de uma caixa há duas moedas. Uma moeda tem duas faces com "Cara" e a outra possui uma face "Cara" e outra "Coroa". Uma moeda é pega aleatoriamente e é observada sua face. Se a face observada for cara, qual é a probabilidade da outra face da moeda também ser cara?

Bom, eu pensei que já que temos uma face que é revelada e determinada pelo problema, é como se jogássemos a moeda e o resultado desse cara. Logo, a chance de ser cara, na outra face, é a mesma da chance de tirar uma moeda com dupla face cara. Ou seja, 50%

Daqui para frente, usarei:
C = Cara
Co = Coroa
Porém, meu conhecido insiste na solução vista em: http://mathproblems.info/prob16s.htm
Apresenta o seguinte pensamento:
Probabilidades das moedas:

Moeda/~~/ Face vista/~~/Face Oculta
Duas caras/~~/C¹/~~/C²
Duas caras/~~/C²/~~/C¹
Normal/~~/C/~~/Co
Normal/~~/Co/~~/C

Voltando o ao que o enigma diz, se a face for cara, qual a chance de a outra face tbm ser. O dono do site disse que é 2/3, tendo em vista a tabela acima, já que 3 dos resultados deram cara na face de cima e 2 deles tem a face de baixo como cara. Tem lógica, mas...
Aí que reside o problema:
A pergunta não foi "Se pegarmos aleatoriamente uma moeda e lançarmos qual a probabilidade de dar cara e a outra face também ser cara". Ai sim, talvez, esse resultado fosse satisfatório.

Mas a pergunta se refere a um resulta já obtido, como se fosse um lançamento já feito, e não à probabilidade de lançar a atingir resultados.
A questão diz que vimos uma face e que era Cara, ou seja, partimos da idéia que já temos um resultado. Logo, se a moeda de duas caras cair c¹/c² ou cair c²/c¹ não faz diferença. A pergunta é a respeito da probabilidade da face DE BAIXO ser cara.

O que vocês acham? Por favor postem cálculos e resolução se possível.

por **temujin** » Sex Out 18, 2013 16:13

Olá.

Acho que o que causa esta confusão é que vc está considerando os eventos independentes, quando de fato não são. O resultado possível da segunda extração depende de qual a moeda foi tirada na primeira.

Este é um exemplo clássico da aplicação do Teorema de Bayes. Vamos por partes. Pelo conceito de probabilidade condicional:

$P(A|B) = \frac{P(A \cup B)}{P(B)}$

Aplicando o Teorema de Bayes, podemos reescrever como:

$P(A|B) = \frac{P(A).P(B|A)}{\sum_{i=1}^k P(A_i)P(B|A_i)}$

Seja A o evento tirar cara na moeda com duas caras e B o evento tirar cara na moeda com uma cara. Então,

$P(A|B) = \frac{1.1/2}{1.(1/2)+(1/2)(1/2)} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$

por **Gabi Biel** » Sáb Out 19, 2013 01:50

temujin escreveu:Olá.

Acho que o que causa esta confusão é que vc está considerando os eventos independentes, quando de fato não são. O resultado possível da segunda extração depende de qual a moeda foi tirada na primeira.

Mas o problema diz que uma moeda foi tirada ao acaso e uma face foi revelada. Para facilitar, vamos apenas imaginar que tiramos uma moeda qualquer e colocamos ela à mostra em algum lugar.
A pergunta diz, se a face for cara, qual as chances de a outra também ser. Mas ao meu ver, a face já foi revelada, e não há porque considerarmos um lançamento ou a chance de a primeira dar cara. Ou seja, não tem porque c1/c² ser considerado diferente c²/c¹, já que o problema diz que uma face foi cara.

SE o problema perguntasse a probabilidade de pegarmos, revelarmos, ser cara e a de baixo também ser cara, aí sim acho que estaria correto.
Mas o que você acha? Se você achar diferente, poderíamos considerar a pergunta com,o ambígua então.

por **temujin** » Sáb Out 19, 2013 15:52

Mas o ponto importante aqui é que o fato de uma moeda ter sido retirada afeta a probabilidade da segunda extração. Pra simplificar imagine que na primeira moeda retirada a face fosse coroa. Qual seria a probabilidade de a segunda ser cara?? Seria 1, pois a moeda restante tem duas faces cara. Ou seja, o resultado da primeira afetou a probabilidade da segunda.

por **Gabi Biel** » Sáb Out 19, 2013 19:37

temujin escreveu:Mas o ponto importante aqui é que o fato de uma moeda ter sido retirada afeta a probabilidade da segunda extração. Pra simplificar imagine que na primeira moeda retirada a face fosse coroa. Qual seria a probabilidade de a segunda ser cara?? Seria 1, pois a moeda restante tem duas faces cara. Ou seja, o resultado da primeira afetou a probabilidade da segunda.

Entendo que tirar um afeta o segundo, mas o exercício nos dá uma situação após termos revelado a primeira face.
Vamos colocar da seguinte forma:
Tiramos uma das duas moedas e revelamos sua face, que foi cara. O exercício nos dá a situação até aqui, depois ele pergunta. A partir daí vamos pensar:
A probabilidade da face de baixo ser cara, depende de qual moeda tiramos (50%/50%).
Voltando ao exercício de imaginação, se tiramos a moeda honesta, a de baixo é coroa. Se tiramos a "duas caras" a de baixo é cara.
E como foi nos dito que a face revelada era cara, se for a moeda de duas caras, tanto faz qual está para cima e qual está para baixo, pois as duas são caras.

Eu ainda acho que podemos colocar da seguinte forma:
Há duas moedas, uma com as face 1 e 3 e outra com as faces 5 e 0. Tiramos uma e revelamos sua face. O Número revelado é ímpar. QUal a chance do número de baixo também ser ímpar.
Nesse caso, se pegarmos a moeda "1/3", se o número revelado for 1 ou 3 tanto faz, pois ambos são ímpares e a face opositora também será.

por **temujin** » Sáb Out 19, 2013 21:05

Olá, Gabi.

Acho que na verdade vc está procurando uma solução muito complexa para um problema relativamente simples.

Gabi Biel escreveu:Entendo que tirar um afeta o segundo

Se vc aceita que afeta, então a probabilidade de a segunda ser cara certamente não pode ser 50%, concorda?

Gabi Biel escreveu:
Tiramos uma das duas moedas e revelamos sua face, que foi cara. O exercício nos dá a situação até aqui, depois ele pergunta. A partir daí vamos pensar:
A probabilidade da face de baixo ser cara, depende de qual moeda tiramos (50%/50%).

50% é a probabilidade de a moeda ser honesta ou não.

Gabi Biel escreveu:Voltando ao exercício de imaginação, se tiramos a moeda honesta, a de baixo é coroa. Se tiramos a "duas caras" a de baixo é cara.
E como foi nos dito que a face revelada era cara, se for a moeda de duas caras, tanto faz qual está para cima e qual está para baixo, pois as duas são caras.

Ao tirar a primeira moeda e revelar a face cara, nós não sabemos qual delas foi tirada. É por isto que os eventos não são independentes.

Pense um pouco a respeito disto. É a ideia central da probabilidade condicional. A ocorrência de um determinado evento altera o espaço amostral do outro evento relacionado.

O ponto chave nesta questão é que vc não tem como saber qual das duas moedas foi tirada, pois ambas têm pelo menos uma face cara.