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[Análise Combinatória] Dúvida

[Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor KleinIll » Dom Abr 08, 2018 20:53

Olá. Peço a ajuda especializada para resolver uma questão de análise combinatória:

Em um projeto de visita a escolas do batalhão, estão envolvidos três sargentos e dez soldados. Para uma visita, é formado um grupo com um sargento e três soldados; porém, devido às atividades do quartel, os soldados Araújo e Batista não poderão estar no mesmo grupo. Dessa forma, determine de quantas maneiras distintas pode-se formar esse grupo.

A) 24
B) 32
C) 132
D) 216


O que eu tentei:
(1)
Primeiro, fiz a combinação sem considerar a regra (Araújo e Batista no mesmo grupo), encontrando o máximo de combinações possíveis:
Entre os soldados: \frac{10!}{3!\left(10-3 \right)!}=120

Segundo passo: calculei o número de combinações em que Araújo e Batista ficariam no mesmo grupo:
Entre os soldados:2*1*8=16

Considerando apenas os soldados, a diferença entre o total de possibilidades e as possibilidades em que ambos os soldados estão no mesmo grupo resulta em: 120-16=104
Considerando a combinação entre os sargentos e soldados: 104*3=312

(2)
Considerei que Araújo e Batista fossem uma única pessoa: \frac{9!}{3!\left(9-6 \right)!}=84
Considerando a combinação entre os sargentos e soldados: 84*3=252

-

Tendo em vista os resultados, ambos não estão entre as alternativas. Se alguém puder esclarecer esta questão, ficarei grato.
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Re: [Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor DanielFerreira » Qua Abr 11, 2018 02:31

Olá KleinIll!

KleinIll escreveu:Em um projeto de visita a escolas do batalhão, estão envolvidos três sargentos e dez soldados. Para uma visita, é formado um grupo com um sargento e três soldados; porém, devido às atividades do quartel, os soldados Araújo e Batista não poderão estar no mesmo grupo. Dessa forma, determine de quantas maneiras distintas pode-se formar esse grupo.

A) 24
B) 32
C) 132
D) 216


Parece-me que não há dúvidas sobre o porquê de usarmos COMBINAÇÃO. Então, pensemos no seguinte: o grupo de visitantes deverá ser formado por um sargento e três soldados; assim, como dois deles não poderão estar juntos, temos as seguintes situações:

SITUAÇÃO I: Aráujo estará no grupo, mas Batista não.

Decisão 1 (d1): combinar três sargentos um a um, \mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}};

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados dois a dois, \mathbf{n(d_2) = C_{8}^{2}}

Obs.: na decisão 2, temos 8 soldados e duas vagas, pois uma vaga é do soldado Araújo, a grosso modo, podemos dizer que ele está fixado no grupo.

Daí, pelo PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO,

\\ \mathsf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{2} =} \\\\ \mathsf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 2)!2!} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!2!} =} \\\\ \mathsf{3 \cdot (4 \cdot 7) =} \\\\ \boxed{\mathsf{84}}


Analogamente,

SITUAÇÃO II: Batista estará no grupo, mas Araújo não.

Decisão 1 (d1): combinar, entre si, três sargentos tomados um a um, \mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}};

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados tomados dois a dois, \mathbf{n(d_2) = C_{8}^{2}}.

Obs.: na decisão 2, temos 8 soldados e duas vagas, pois uma das vagas pertence ao soldado Batista.

Pelo PFC,

\\ \mathsf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{2} =} \\\\ \mathsf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 2)!2!} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!2!} =} \\\\ \mathsf{3 \cdot (4 \cdot 7) =} \\\\ \boxed{\mathsf{84}}


SITUAÇÃO III: Araújo e Batista não estão no grupo.

Decisão 1 (d1): combinar, entre si, três sargentos tomados um a um, \mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}};

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados tomados três a três, \mathbf{n(d_2) = C_{8}^{3}}.

Assim, pelo PFC, teremos:

\\ \mathbf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{3} =} \\\\ \mathbf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 3)!3!} =} \\\\\\ \mathbf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cot 5!}{5!3!} =} \\\\ \mathbf{3 \cdot (8 \cdot 7) =} \\\\ \fbox{\mathbf{168}}


Por fim, pelo PRINCÍPIO ADITIVO, concluímos que:

\\ \mathsf{84 + 84 + 168 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{336}}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Re: [Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor KleinIll » Qua Abr 11, 2018 09:34

DanielFerreira, obrigado pelo retorno.

Sua resposta esclareceu as minhas dúvidas.
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Re: [Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor DanielFerreira » Sex Abr 13, 2018 00:24

Olá KleinIll!

Que bom!

Bons estudos!!
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?