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Número de elementos dum conjunto

Número de elementos dum conjunto

Mensagempor raymondtfr » Qua Nov 12, 2014 15:43

Pessoal, eu estou com dúvidas na resolução deste exercício de conjuntos (não sei ao certo o que fazer com ({n}_{B-A} = 15) . Os conjuntos são A, B e C.
Os dados são:
{n}_{U} = 52
{n}_{A} = 20
{n}_{A\cap B\cap C} = 3
{n}_{B\cap C} = 9
{n}_{A\cup B\cup C} = 45
{n}_{A\cap B} = 7
{n}_{B-A} = 15
O exercício pede:
a) {n}_{B}
b) {n}_{C}
c) {n}_{A\cup B}
d) {n}_{U-(A\cup B\cup C)}

Eu desenho o diagrama de Venn preenchendo as partes de cada um dos três conjuntos com seu respectivo número de elementos, no entanto, não tenho certeza de como incluir este: {n}_{B-A} = 15, no diagrama de Venn.
O {n}_{B-A} = 15 significa que o 15 está incluído somente no B? ou seja, que {n}_{B} = 15?

Estou usando esta fórmula, e a cabeça :lol: para a resoluçao:
{n}_{A\cup B \cup C} = {n}_{A} + {n}_{B} + {n}_{C} - {n}_{A\cap B} - {n}_{A\cap C} - {n}_{B\cap C} + {n}_{A\cap B\cap C}

Se puderem esclarecer o uso de {n}_{B-A} = 15 (no diagrama de Venn, fórmula) já é uma ajuda :y:. Valeu!
Editado pela última vez por raymondtfr em Qui Nov 13, 2014 09:42, em um total de 1 vez.
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Re: Número de elementos dum conjunto

Mensagempor DanielFerreira » Qua Nov 12, 2014 20:46

Olá Raymon,
colocaste n_A por duas vezes; quanto ao n(B - A), trata-se do número de elementos que tem em B mas não em A.

Exemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}

B - A = {4, 5}
n(B - A) = 2 ==> dois elementos.
"Sabedoria é saber o que fazer;
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Re: Número de elementos dum conjunto

Mensagempor raymondtfr » Qui Nov 13, 2014 09:51

danjr5 escreveu:Olá Raymon,
colocaste n_A por duas vezes; quanto ao n(B - A), trata-se do número de elementos que tem em B mas não em A.

Exemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}

B - A = {4, 5}
n(B - A) = 2 ==> dois elementos.


Ahhh, foi um erro de digitação, na verdade o {n}_{A} = 52 é {n}_{U} = 52. Ah sim, eu entendo a diferença entre dois conjuntos, mas se {n}_{B-A} = 15, o número 15 pertence somente à região B do diagrama de Venn? então é correto afirmar que {n}_{B-A} = {n}_{B}, portanto 15 está dentro só de B (não é interseção dos outros dois conjuntos, A, C).
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Re: Número de elementos dum conjunto

Mensagempor DanielFerreira » Dom Nov 16, 2014 20:15

Diag.png
Diag.png (6.09 KiB) Exibido 1400 vezes


Atente ao fato de n(A - B) ser a QUANTIDADE de elementos...

- comece com a intersecção dos elementos tomados três a três;
- intersecção dos elementos tomados dois a dois;
- (...)

a)

\\ n(B) = 9 + 4 + 3 + 6 \\ \boxed{n(B) = 22}
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Re: Número de elementos dum conjunto

Mensagempor raymondtfr » Qui Nov 20, 2014 12:29

danjr5 escreveu:
O anexo Diag.png não se encontra mais disponível


Atente ao fato de n(A - B) ser a QUANTIDADE de elementos...

- comece com a intersecção dos elementos tomados três a três;
- intersecção dos elementos tomados dois a dois;
- (...)

a)

\\ n(B) = 9 + 4 + 3 + 6 \\ \boxed{n(B) = 22}


Olá, já faz um tempo desde meu último post, suas dicas me elucidaram algumas inconsistências no meu raciocínio, ao ponto de que consegui desenvolver o problema :idea: ! No entanto, como não tem gabarito, não tem como eu confirmar (embora eu tenha confirmado com um solucionador de diagrama de Venn de um site; anexo da imagem), se puderes confirmar as respostas, eu agradeço. Valeu!
Ficou bem claro que a resposta de 'd)' era 52 - 45 = 7, e logo que eu completei o resto do diagrama (excluindo c), eu percebi que o total era 35, só que {n}_{A\cup B\cup C} = 45, portanto, faltava 10 para completar 45, daí só C = 10, e {n}_{C} = 10 + 14 = 24 e que {n}_{A\cup B} = 45-10=35

a) {n}_{B} = 22
b) {n}_{C} = 24
c) {n}_{A\cup B)} = 35
d) {n}_{U-(A\cup B\cup C)} = 7
Anexos
solução.PNG
Solução final
solução.PNG (40.7 KiB) Exibido 1391 vezes
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Re: Número de elementos dum conjunto

Mensagempor DanielFerreira » Dom Nov 23, 2014 21:49

Desculpe a demora Raymondtfr!

Tua resposta está correcta.
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D