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Conjuntos numéricos.

Conjuntos numéricos.

Mensagempor Douglas2013 » Dom Mar 10, 2013 10:36

Queria saber se a minha resolução está certa.

Enunciado: Prove que, dado um número racional \frac{a}{b} e um número natural n \geq 2, nem sempre \sqrt[n]{\frac{a}{b}} é racional.


minha resolução não foi baseada totalmente em contas.
Resolução: Considerando \frac{a}{b} uma fração irredutível e sabendo que \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} , claramente \sqrt[n]{a} ou \sqrt[n]{b} será irracional, porque como o MDC(a,b)= 1 e dessa forma a ou b será primo,tirando a raiz de a e b, uma delas será irracional. Então, o quociente de um númerou racional por um número irracional, não importando a ordem, resultara num número irracional.

Minha resolução esta certa??
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Re: Conjuntos numéricos.

Mensagempor e8group » Dom Mar 10, 2013 11:51

OBS.: Tome cuidado ! Podemos ter a , b não primos com a não múltiplo de b ,ou seja , mdc (a,b) = 1 e além disso se a = \gamma^n e b = \beta^n para \gamma e \beta naturais ,nestas condições ,\sqrt[n]{ \frac{a}{b} } é racional .Conclusão mdc(a,b) = 1 não implica que \sqrt[n]{a} ou \sqrt[n]{b} é irracional .

Exemplo :

Para n = 2 e fixado a = 16 e b = 9 .

Temos :
1)

mdc(a,b) = 1

2)

a,b não são primos pois a = 16 = 2^4 e b = 3^2 .


3) \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } é racional , pois por 2) , \sqrt[n]{ \frac{a}{b} }= \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \frac{2^2}{3}
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Re: Conjuntos numéricos.

Mensagempor e8group » Dom Mar 10, 2013 13:06

Tenho uma dica .

Pelo Teorema fundamental da aritmética , se a ,b > 1 são naturais \implies existem primos positivos a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \hdots \leq a_{m'}  , b_1 \leq b_2 \leq b_3 \leq \hdots \leq b_m ,tais que se a ,b não são primos , eles podem ser escritos da seguinte forma :


a = \prod_{i=1}^{m'} a_i   , b = \prod_{i=1}^m b_i .
Sendo assim ,

devemos mostra que \sqrt[n]{\frac{a}{b}} é racional (*) \iff , a_1  = a_2 = a_3= \hdots= a_{m'} ,b_1  = b_2 = b_3= \hdots =b_{m} e m  = k\cdot n, m' = k'\cdot n  , \forall k ,k' \geq 1 . (**) Caso contrário não é racional .

Para demonstrar (*) é fácil ,já p/ (* *) podemos supor que :

1) a,b são primos .

2) a,b não são primos com a_i e b_j não simultaneamente iguais para i = 1,2,3\hdots ,m' , j=1,2,3,\hdots ,m .

Podemos provar (**) por absurdo ,supondo que \sqrt[n]{\frac{a}{b}} é racional para todo n\geq 2 .

Foi a única forma que pensei utilizar p/ demonstrar .Tente concluir .

Editado erro de digitação .
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Re: Conjuntos numéricos.

Mensagempor Douglas2013 » Dom Mar 10, 2013 22:39

Ah... isso é frustante!! provas matemáticas são realmente muito complicadas.... vlw pela ajuda e por avisar sobre meu descuido.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.