[Equação do segundo grau]Resolvida por fatoração.

por **Matheus Lacombe O** » Sáb Jan 05, 2013 14:45

Olá pessoal! Desculpem interromper as férias de vocês, mas.. La vai..

- Voltei a resolver o "Matemática Paratodos 8º" e no capítulo sobre equações encontrei um dúvida. O livro coloca a seguinte questão (encontre o valorde 'x' para):

$x+{(x+1)}^{2}=5$

Resolução:

$x+{x}^{2}+2x+1=5$

${x}^{2}+3x-4=0$

- O problema é o seguinte: Neste capítulo do livro, o aluno ainda não conhece a fórmula de Baskhara e esta estudando a resolução de equações do segundo grau apenas por fatoração (Isolando o fator comum ou determinando um trinômio quadrado perfeito, ou seja, produto notável que seja equivalente a expressão).

-Se eu tento resolver o produto notável (x+1)² e somo ele ao outro 'x', passando o '5' para este mesmo lado da igualdade (resultando em 'x²+3x-4=0'), não tenho mais como fatorar a equação (para usar a técnica do produto igual a zero). A não ser que eu já conheça as raizes da equação e aí então retroativamente estabeleça que:

(x-1)(x+4)=0

- O que por fatoração me parece a única forma de resolver a questão. Porém se eu chego a '-1' e '4' pela forma de baskhara em 'X²+3x-4' então esta resolção não fecha pq o aluno ainda não conhece a fórmula de baskhara.

Por favor alguém pode me dar uma luz? Se a multiplicação '(x-1)(x+4)' é a única fórma de resolver a equação sem usar baskhara, então como chegar a ela sem retroativamente usar baskhara para descobrir as raizes e estabelecer a multiplicação (afinal os números '-1' e '4' não saem do nada, não é mesmo? Existe uma técnica, não é?).

Grato, desde já. Abraços. Fui.

por **ant_dii** » Sáb Jan 05, 2013 15:45

Bom...
Uma ideia é você usar a regra do completar quadrado.

Outra ideia é você fazer o seguinte: você tem uma equação do tipo ax^2+bx+c=0

, então faça
ax^2+bx+c=(x-A)(x-B)

daí basta desenvolver o lado direito e encontra A e B.

Mas é importante você verificar que nem sempre esse método será possível (a não ser que eles tenham estudado números complexos).

por **sauloandrade** » Sáb Jan 05, 2013 15:47

Certo, você fatorou certo e chegou em (x-1)(x+4)=0

. Agora para que dois números multiplicados seja igual 0 um deles devem ser igual a zero ou os dois sejam zero, concorda? Então para que esse produto seja zero, temos que x-1=0

ou

. Resolvendo x =1 ou x = -4

por **Jhenrique** » Sáb Jan 05, 2013 16:29

Vc tem que usar a técnica chamada de "completar quadrado", a fórmula que não é de báscara baseia-se justamente nessa ideia. É irritante ver certos professores solucionando uma eq do 2º grau e chegar na fórmula q não é de báscara sem contar aos estudantes q o que ele fez foi completar o quadrado.

Seguinte... suponha a equação y=ax^2+bx+c

, o que queremos é isolar a variável

, para isso vamos recorrer ao produto notável (A^2+2AB+B^2)=(A+B)^2

. Aqui é sacada mais importante! Vc precisa dar um jeito de fazer isto: ax^2+bx+c

ser semelhante a isto: (A^2+2AB+B^2)

para daí poder tirar partido com a fatoração.

Olhando para: (A^2+2AB+B^2)=(A+B)^2

e substituindo A e B por x e k, veja como fica: (x^2+2kx+k^2)=(x+k)^2

, bem semelhante ao modelo da eq do 2º grau, não é mesmo? Agora vamos manipular o modelo para ficar mais semelhante ao produto notável...: $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{(c-y)}{a}=0$ , pronto! Se identificarmos $2k=\frac{b}{a}$ então k^2

precisar ser $\frac{b^2}{4a^2}$ . É fácil ver que a parcela invariável do modelo não é igual a $k^2=\frac{b^2}{4a^2}$ , o que fazemos então é rearrumar a expressão para que seja possível a fatoração, portanto: $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{(c-y)}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$ . Como $k=\frac{a}{2b}$ , então podemos fatorar o modelo já todo modificado e ficará assim: $(x+\frac{a}{2b})^2=-\frac{(c-y)}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$ . Pronto! Agora está facinho de isolar a variável x, é só fazer isto e já era! Daí vc conhece o método de fatoração algébrico (superior ao numérico), que implica necessariamente na fórmula que não é de báscara, saberá resolver qualquer problema do 2º grau e poupará tempo com exercício picuinha.

Aqui vai um vídeo mto top do canal Gusalberto, o cara faz o que eu faço, mas numericamente, é exatamente isso o que vc quer! http://www.youtube.com/watch?v=ogrTOEbJ6FA

Flw!

por **Matheus Lacombe O** » Ter Jan 08, 2013 22:13

ant_dii: Entendi seu raciocíneo, mas não entendi como isso resolverá alguma coisa. Pois:

${x}^{2}+3x-4=(x+a)(x+b)$

${x}^{2}+3x-4={x}^{2}+xb+xa+ab$

${x}^{2}-{x}^{2}+3x-4={x}^{2}-{x}^{2}+xb+xa+ab$

3x-4=xb+xa+ab

- Eu não sei se estou cometendo alguma gafe, mas pra mim não resolveu nada..

JHenrique: Fazia tempo que estava atrás disso! Realmente ajudou. Eu tentei aqui e realmente, funciona direitinho.

${x}^{2}+3x-4=0$

${x}^{2}+3x_=4$

Como:

2ax=3x

$\frac{2ax}{x}=\frac{3x}{x}$

2a=3

$a=\frac{3}{2}$

e: ${x}^{2}+2ax-{a}^{2}=0$

logo:

${x}^{2}+3x+{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2}=4+{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2}$

${x}^{2}+3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$

${x}^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{16}{4}+\frac{9}{4}$

${x}^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$

${\left(x+\frac{3}{2}\right)}^{2}=\frac{25}{4}$

$x+\frac{3}{2}=\sqrt[]{\frac{25}{4}}$

$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt[]{25}}{\sqrt[]{4}}}$

para: $x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

$x=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}$

$x=\frac{2}{2}$

${x}^{'}=1$

para: $x+\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$

$x=-\frac{5}{2}-\frac{3}{2}$

$x=-\frac{8}{2}$

{x}''}=-4

- Só fico meio em dúvida se era bem isso que o livro pedia. Mas de qualquer forma, já acrescentou ao meu conhecimento. ^^

- Obrigado a todos que contribuíram com este tópico. Um abraço e até.

por **ant_dii** » Ter Jan 08, 2013 23:46

Matheus Lacombe O escreveu:ant_dii: Entendi seu raciocíneo, mas não entendi como isso resolverá alguma coisa. Pois:

${x}^{2}+3x-4=(x+a)(x+b)$

${x}^{2}+3x-4={x}^{2}+xb+xa+ab$

${x}^{2}-{x}^{2}+3x-4={x}^{2}-{x}^{2}+xb+xa+ab$

- Eu não sei se estou cometendo alguma gafe, mas pra mim não resolveu nada..

Ah sim, me desculpe pelo deslize mas eu deveria ter continuado a resolução.

Acontece que (se entendi bem) você deseja (também) reescrever a equação do segundo grau dada como uma multiplicação de dois binômios, então isso pode ser feito por comparação e no fim será usado um sistema para resolver (e aí talvez more o problema, pois será necessário que o aluno "chute" valores). Deixa de delongas e vamos ver:

Dada a equação ${x}^{2}+3x-4=0$ , como encontrar as raízes sem usar a Fórmula de Bhaskara?
Uma saída é o método já mencionado e explicado (por nosso colega Jhenrique - aliás, parabéns, ótima abordagem), a técnica de completar quadrado.
Outra ideia é fazer uma comparação, já que no produto (x-A)(x-B)=0

é fácil ver que as raízes são

e

.
Então,vejamos
${x}^{2}+3x-4=(x-A)(x-B) \Rightarrow \\\Rightarrow x^2+3x-4=x^2-Bx-Ax+AB \Rightarrow \\\Rightarrow x^2+3x-4=x^2-(B+A)x+AB$
de onde
$3x=-(B+A)x \Rightarrow -3=B+A$
e
-4=AB

Logo, temos o sistema
$\left\{\begin{array}{l} -3=B+A\\ -4=AB \end{array}\right$

Neste momento será feita a pergunta: quais números cujo a soma é -3 e o produto é -4.

Veja que não é um método muito convencional, mas dele podemos perceber que o processo pode ficar simples (em alguns casos é claro) se sempre olharmos para os coeficientes do segundo termo e do terceiro termo.

Veja outra coisa que também possa lhe interessar (de um modo mais geral e que vale sempre)...
Dada a equação ax^2+bx+c=0

, sabemos que suas raízes pode ser dada por Bhaskara fazendo

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

e
$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Se somarmos x_1

com

, teremos

$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \Rightarrow x_1+x_2=\frac{-2b}{2a} \Rightarrow \\ \Rightarrow x_1+x_2=\frac{-b}{a}$

Ou seja, a soma das raízes de uma equação do segundo grau é o coeficiente b dividio pelo a com sinal negativo.

Se multiplicarmos x_1

com

, teremos

$x_1 \cdot x_2=\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \cdot \left( \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x_1 \cdot x_2=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \Rightarrow x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}$

Ou seja, se multiplicarmos as raízes de uma equação do segundo grau encontraremos que o valor é o coeficiente c dividido pelo coeficiente a.

Bom é isso. Espero que me desculpe pelo deslize de deixar explicado. Até mais...