exercicio resolvido

por **adauto martins** » Qui Out 15, 2020 16:14

mostre que entre dois numeros racionais,existem infinitos numeros irracionais.

por **adauto martins** » Qui Out 15, 2020 16:31

de fato,pois
tomemos o numero $\sqrt[k]{{p}_{j}},{p}_{j}numero primo...p/k,j\in N$ que é um numero irracional

temos que

${p}_{j}-1\prec \sqrt[k]{{p}_{j}}\prec {p}_{j}\Rightarrow$

$(p-1)/q\prec({p}_{j}-1)/q\prec \sqrt[k]{{p}_{j}}/q\prec {p}_{j}/q \prec p/q$ ...

$p/{p}_{j}\prec p,p\in Q$

e

p,q primos entre si...

analogo p/ entre dois irracionais,existem infinitos racionais(fica como exercicio)

por **adauto martins** » Qui Out 15, 2020 18:38

a soluçao acima apresenta esta incorreta,vamos a soluçao correta.
tomemos,como visto acima
$r\prec \sqrt[k]{{p}_{j}}\prec p$
para p,r racionais...logo,podemos ter:

$\sqrt[k]{{p}_{j}}-1\prec \sqrt[k]{{p}_{j}}\prec{p}_{j}$ ...

$(r-1)/q\prec(\sqrt[k]{{p}_{j}}-1)/q\prec \sqrt[k]{{p}_{j}}/q\prec {p}_{j}/q\prec p/q$

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