[Algebra Linear] Planos perpendiculares

por **Pedro123** » Qui Mai 23, 2013 16:41

Olá galera, estou com dúvida na seguinte questão, fiz a materia ja tem mais de 2 anos e nao lembro bem como resolver, consegui fazer o óbvio que é igualar o produto escalar dos vetores normais dos planos a zero, porém nao fui muito além disso. Aqui está a questão:

Determinar os valores de a e b de modo que os planos
PI1: ax+by+4z -1 =0
PI2: 3x-5y-2z+5 =0
sejam perperdiculares

Me parece ser algo bem simples, porém nao estou enxergando.

Grato pela atenção

por **e8group** » Dom Mai 26, 2013 14:04

Sim está certo , como $p_1 \perp p_2 \implies n_{p_1} \perp n_{p_2} \implies n_{p_1} \cdot n_{p_2} = 0$ .Onde : $n_{p_1} = (a,b,4)$ e $n_{p_2} = (3,-5,-2)$ são ,respectivamente ,vetores ortogonais aos planos p_1

e

. Através da equação 3a -5b -8 =0 0

,obtemos $a = \frac{8+5b}{3}$ isto nos faz pensar que

é um número arbitrário . Mas ,tomando-se arbitrariamente dois pontos que pertencem ao plano p_1

, poderemos construir um vetor ortogonal a $n_{p_2}$ .Por exemplo , fazendo-se x=0,0 ; y=2,3

na equação no plano p_1

e obtemos que os pontos $P_1 = (0,2, \frac{1-2b}{4}) , P_2 = (0,3,\frac{1-3b}{4}) \in p_1$ . Assim , $\overrightarrow{P_1P_2} = (0,1,\frac{-b}{4}) \parallel p_1 \implies \overrightarrow{P_1P_2} \perp n_{p_2} \implies \overrightarrow{P_1P_2} \cdot n_{p_2} = 0 \implies 3\cdot 0 +(-5) \cdot 1 + (-2) \cdot (-b/4) = 0 \implies -5 +b/2 = 0 \implies b = 10$ .

Logo ,lembrando que $a = \frac{8+5b}{3}$ ,temos que $a = \frac{8 + 50}{3} = \frac{58}{3}$ .

Verificando a resposta :

$n_{p_1} \cdot n_{p_2} = 0 \implies (58/3,10,4) \cdot (3,-5,-2) = 174/3 - 50 -8 = 0$ . (OK!!)

Se não falhei em algum conceito é isso .

Justificativa em relação a escolha arbitrária dos pontos P_1, P_2

. Suponha que P_3, P_4

são pontos genéricos do plano p_1

. Assim , $\overrightarrow{P_3P_4} \parallel \overrightarrow{P_1P_2} \implies \exists \gamma \in \mathbb{R}$ tal que $\overrightarrow{P_3P_4} = \gamma \overrightarrow{P_1P_2}$ .

Daí ,

$\overrightarrow{P_3P_4} \perp n_{p_2} \iff ( \gamma \overrightarrow{P_1P_2}) \perp \vec{ n_{p_2}} ) \iff ( \gamma \overrightarrow{P_1P_2}) \cdot \vec{ n_{p_2}} = 0 \iff \gamma ( -5 +b/2 ) = 0$ .

Como as equações são equivalentes é fácil verificar a unicidade da resposta .

por **Pedro123** » Seg Mai 27, 2013 14:36

Muito obrigado santhiago, até pensei em fazer um outro vetor, mas achei que haveria um jeito menos arbitrário de encontrar o mesmo e acabei me confundindo. Enfim, obrigado.