[Espaço Vetorial] Prova do conjunto de funções reais

por **dileivas** » Qua Ago 07, 2013 20:53

Estou com dificuldade em provar os 8 axiomas para mostrar que o conjunto de funções reais forma um espaço vetorial.

Minha primeira dúvida já começa na representação de uma função real. Estaria certo representar uma função real para essa prova como f(x) ou devo utilizar "n" variáveis do tipo f(x,y...,n)?

Minha segunda dúvida é em relação as operações de soma e multiplicação por escalar. Como ficariam?

Creio que sabendo isso consiga demonstrar os 8 axiomas.

Obrigado!

por **Russman** » Qua Ago 07, 2013 21:36

Como "função real" você quer dizer o conjunto de funções contínuas do tipo $f(x_1,...,x_n):\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ ?

Se sim, para mostrar que é um espaço vetorial você deve mostrar que a soma e a multiplicação por um número real pertencem a esse espaço. Isto é verdade, pois a soma de duas funções reais contínuas é uma função real contínua assim como uma função real contínua multiplicada por um número real também é uma função real contínua.

$E = \left \{ f(x_1,...,x_n):\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}, continua \right \}$

$f_1(x_1,...,x_n) + f_2(x_1,...,x_n) = f_3(x_1,...,x_n) \in E$
$\alpha f_1(x_1,...,x_n) = f_2(x_1,...,x_n) \in E$

por **dileivas** » Qua Ago 07, 2013 21:56

Russman escreveu:Como "função real" você quer dizer o conjunto de funções contínuas do tipo $f(x_1,...,x_n):\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ ?

Creio que seja isso mesmo. Meu professor em aula deu exemplo de função real de uma variável f(x). Como o exercício pede a prova do "conjunto das funções reais" deve ser algo mais amplo como você indicou.

Aproveitando o tópico, no mesmo exercicio pede a prova do conjunto de matrizes 2x2 cujo o traço é zero. Como eu defino um vetor que está nesse conjunto? Seria algo do tipo $\textbf{v}= \begin{pmatrix} 0 & x_1 \\ x_2 & 0 \end{pmatrix}$ ?

Muito obrigado pela ajuda!

por **Russman** » Qui Ago 08, 2013 11:52

O traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal. Assim, se

$E=\left \{ \begin{pmatrix} x_1 & x_2\\ x_3 & x_4 \end{pmatrix} / x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbb{R} \right \}$

e tomarmos

$V = \left \{ v = \begin{pmatrix} x_1 & x_2\\ x_3 & x_4 \end{pmatrix} / x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbb{R},x1+x4=0 \right \}$

então, fazendo $x_1= \alpha$ , temos

$V = \left \{ v=\begin{pmatrix} \alpha & x_2\\ x_3 & -\alpha \end{pmatrix} / x_2,x_3, \alpha \in \mathbb{R} \right \}$ .

Se

é espaço vetorial então para quaisquer $v_1 \in V$ e $v_2 \in V$ devemos verificar $(v_1 + v_2) \in V$ , $kv \in V$ e a existência do elemento neutro.

De fato, o elemento neutro existe pois basta tomar $x_2 = x_3 = \alpha = 0$ . Ainda,

$v_1 + v_2 =\begin{pmatrix} \alpha_1 & x_2_1\\ x_3_1 & -\alpha_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_2 & x_2_2\\ x_3_2 & -\alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 + \alpha_2 & x_2_1+x_2_2 \\ x_3_1 + x_3_2 & -\alpha_1 - \alpha_2 \end{pmatrix}$

e como $\alpha_1 + \alpha_2 -\alpha_1 - \alpha_2 =0$ então $v_1 + v_2 \in V$ .

Agora,

$kv =\begin{pmatrix} k\alpha & kx_2\\ kx_3 & -k\alpha \end{pmatrix}$

de modo que $k \alpha - k \alpha = k(\alpha - \alpha) = 0$ e, portanto, $kv \in V$ .

Assim,

é espaço vetorial!

por **e8group** » Qui Ago 08, 2013 16:15

Boa tarde . Observe a pagina 7 , exemplo 5 no seguinte link : http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt2.pdf .

por **BRUNA AVILA** » Ter Ago 13, 2013 15:16

[color=#FF0000]Boa tarde!!

não consigo resolver o exercício de função inversa

Ache a função inversa 2x-1/3,minha dificuldade e porque não consigo resolver a fração,alguém pode me ajudar.[/color]